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Matemticas: Nivel Medio Portafolio: Fracciones de Lacsap

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Introduction

Organización del bachillerato internacional PROGRAMA DEL DIPLOMA COLEGIO PERUANO NORTEAMERICANO “ABRAHAM LINCOLN” Matemáticas: Nivel Medio Portafolio: Fracciones de Lacsap Diego Alfonso Cabrera IV- B Lima, Perú 2012 Introducción Lacsap es simplemente Pascal al revés, esto nos dice que el triángulo de Pascal (llamado así por el matemático francés del siglo XVII Blaise Pascal) encaja en estas fracciones. El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular, entonces el triangulo de Lacsap vendrían a ser fracciones ordenadas de forma triangular y con sus respectivas fórmulas para numerador y denominador, que pasaré a hallar. Hallamos el numerador Resolveremos en este portafolio la relación entre el número de fila (n) con el numerador y el denominador, en el patrón mostrado abajo llamado triángulo de Lacsap. Observaciones: 1. Cuando n=1, el numerador es 1 2. Cuando n=2, el numerador es 3 3. Cuando n=3, el numerador es 6 4. Cuando n=4, el numerador es 10 5. Cuando n=5, el numerador es 15 Podemos verlo mejor en esta gráfica: "n" fila Numerador 1 1 2 3 3 6 4 10 5 15 Según estas observaciones hay un patrón el cual consiste en que el siguiente numerador se le va sumando números consecutivos: 1 + 2 = 3 3 + 3 = 6 6 + 4 = 10 10 + 5 = 15 15 + 6 = 21 Debería ser el numerador de la sexta fila (hipótesis) ...read more.

Middle

Denominador cuando “r” = 1: Cuando n=1, observamos que la diferencia entre el numerador y el denominador es 0 Cuando n=2, la diferencia es 1 Cuando n=3, la diferencia es 2 Cuando n=4, la diferencia es 3 Cuando n=5, la diferencia es 4 Cuando n=6, la diferencia debería ser 5 Cuando n=7, la diferencia debería ser 6 Podemos decir que la diferencia es igual a n – r (cuando r = 1). 1 – 1 = 0 = n – 1 2 – 1 = 1 = n – 1 6 – 4 = 2 = n – 1 Entonces: numerador – denominador = n – r Denominador = numerador – (n – r) 10 – 7 = 3 15 – 11 = 4 Denominador cuando “r” = 2: Denominador = D; Numerador = N Cuando n= 2; N – D = 0 n= 3; N – D = 2 n= 4; N – D = 4 n= 5; N – D = 6 n= 6; N - D (debería ser)= 8 n= 7; N – D (debería ser)= 10 Vemos que N – D es n – r cuando r = 1 Entonces se tendría que dar cuando r = 2, N – D = n – r Lo cual no se da. ...read more.

Conclusion

Cuando r=3: D= 36 – 3(8-3) = 21 1. Cuando r=4: D=36 – 4(8-4) = 20 1. Cuando r=5: D= 36 – 5(8-5) = 21 1. Cuando r=6: D= 36 – 6(8-6) = 24 1. Cuando r=7: D= 36 – 7(8-7) = 29 Fila ocho: 1; 36/29; 36/24; 36/21; 36/20; 36/21; 36/24; 36/29; 1 Alcances y Limitaciones: Existen limitaciones para esta ecuación, primero se debe cortar los unos de ambos lados del triángulo cuando se calcula el numerador, entonces la segunda columna es contada como la primera. Segundo, en la proposición general, “n” debe ser mayor que cero. Tercero, la primerísima línea del triángulo (1 1) es considerada como la primera línea. Hallando la proposición general: La proposición general se obtuvo siguiendo los pasos vistos con anterioridad, primero se halló la ecuación para el numerador, primero hallando el patrón, formulando la hipótesis para las siguientes filas, buscando una relación entre “n” y el numerador, reemplazando la incógnita en la ecuación formulada y hallando finalmente la ecuación. De igual manera con el denominador, solo que en este caso vino a tomarse en cuenta la columna (ya que el numerador es igual en cada fila horizontal), y se halló la ecuación correspondiente al denominador, luego se reemplazó la incógnita del denominador por una ecuación equivalente usando la incógnita “r” de fila para simplificar, y para finalizar se los puso en una fracción a ambos (en sus respectivos espacios de numerador y denominador) y se logro la proposición general. ...read more.

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