Por tanto, para hallar el término enésimo se utiliza la ecuación
. Donde:
0 1 3 6 10 15 21
+1 +2 +3 +4 +5 +6
+1 +1 +1 +1 +1
Entonces, la proposición general que representa el término enésimo número triangular es:
Para comprobar la validez de la proposición general podemos encontrar dos números triangulares que ya tengamos y otros dos números triangulares más grandes. Cabe señalar que para calcular estos datos se empleó la calculadora Casio fx-9860GII SD:
Tabla n°2
Como un segundo punto, se considera que las figuras estelares (con forma de estrella) de
vértices, que llevan a los números
-estelares. A continuación de observan, en cuatro etapas,
, las primeras cuatro representaciones correspondientes a una estrella de seis vértices. El número
-estelar en cada etapa es el número total de puntos que contiene el diagrama, como se muestra a continuación:
A partir de estas figuras podemos continuar graficando hasta el término S6 y de esta manera encontrar el número de puntos, es decir, el número estelar, en cada estrella que representa el número
-estelar. Las figuras son:
Luego de realizar las figuras estelares de los 6 primeros términos, podemos organizar el número de puntos que contiene cada término, lo que nos indicara el número
-estelar que le corresponde a cada uno. De esta forma obtenemos la siguiente tabla:
Tabla n°3
Podemos encontrar el siguiente patrón:
Al realizar las restas observamos que los resultados son múltiplos de 12, por lo cual podemos ver que los términos van a estar dados por la suma del término anterior más un determinado múltiplo de 12.
Entonces para hallar el número
-estelar en la etapa 7:
Podemos organizar la información de la siguiente manera:
1 13 37 73 121 181
+12 +24 +36 +48 +60
+12 +12 +12 +12
Como podemos ver, esta también es una sucesión cuadrática por lo que su término enésimo se da de forma
. Donde:
Por tanto, la proposición general para el número
-estelar en la etapa
es:
Para comprobar la validez de la proposición general podemos encontrar dos números
-estelares que ya tengamos y otros dos números más grandes. Al igual que en el caso anterior, para calcular estos datos se empleó la calculadora Casio fx-9860GII SD:
Tabla n°4
Asimismo, podemos repetir los pasos anteriores, pero con otros valores para p. Es decir, trabajar con estrellas con distintos números de vértices, y en efecto distintos números estelares. Para esto, se trabajara con dos valores,
y
.
Comenzamos con el número
-estelar. A continuación, se observan
, de las primeras 4 representaciones:
A partir de estas figuras podemos continuar graficando hasta el término
y de esta manera encontrar el número estelar en cada estrella que representa el número
-estelar. Las figuras son:
Luego, teniendo en cuenta las figuras representadas, se encuentra una tabla en la cual se ha desarrollado el número
-estelar de los 6 primeros términos:
Tabla n°5
Podemos encontrar el siguiente patrón:
Al realizar las restas observamos que los resultados son múltiplos de 8, por lo cual podemos ver que los términos van a estar dados por la suma del término anterior más un determinado múltiplo de 8.
Entonces para hallar el número
-estelar en la etapa 7:
Podemos organizar la información de la siguiente manera:
1 9 25 49 81 121
+8 +16 +24 +32 +40
+8 +8 +8 +8
Como podemos ver, esta también es una sucesión cuadrática por lo que su término enésimo se halla mediante
. Donde:
Por tanto, la proposición general para el número
-estelar en la etapa Sn es:
Para comprobar la validez de la proposición general podemos encontrar dos números
-estelares que ya tengamos y otros dos números más grandes. Para calcular estos datos se empleó la calculadora Casio fx-9860GII SD:
Tabla n°6
Ahora podemos trabajar con los números
-estelares, lo que quiere decir que trabajaremos con estrellas de 5 vértices. A continuación se ve S1-S4, de las primeras 4 figuras:
A partir de estas figuras podemos continuar graficando hasta el término S6 y de esta manera encontrar el número estelar en cada estrella que representa el número
-estelar. Las figuras son:
Luego, teniendo en cuenta las figuras representadas, se encuentra una tabla en la cual se ha desarrollado el número
-estelar de los 6 primeros términos:
Tabla n°7
Podemos encontrar el siguiente patrón:
Al realizar las restas observamos que los resultados son múltiplos de 10, por lo cual podemos ver que los términos van a estar dados por la suma del término anterior más un determinado múltiplo de 10. Entonces para hallar el número
-estelar en la etapa 7:
Podemos organizar la información de la siguiente manera:
1 11 31 41 51 61
+10 +20 +30 +40 +50
+10 +10 +10 +10
Como se observa, esta también es una sucesión cuadrática por lo que se utiliza
para hallar el término enésimo.
Por tanto, la proposición general para el número
-estelar en la etapa Sn es:
Para comprobar la validez de la proposición general podemos encontrar dos números
-estelares hechos previamente y otros dos números nuevos. Para esto, se trabajó con la calculadora Casio fx-9860GII SD:
Tabla n°2
A partir de todo lo anterior, se puede elaborar la proposición general, en función de
y
, que genere la progresión de números
-estelares para cualquier vaor de
en la etapa
:
Donde
es el número de vértices en la estrella, y
es el término a encontrar dentro del número estelar. Para comprobar la validez de la proposición podemos encontrar el término 7 del número
estelar,
del cual ya conocemos los resultados.
De esta forma:
Recordando que previamente se había realizado y obtenido lo siguiente:
Teniendo en cuenta que la proposición es válida podemos proceder a discutir los alcances y las limitaciones de la proposición general.
Se debe tomar en cuenta que la proposición general solo se puede emplear en los números
estelares.
La proposición está establecida solo para números enteros positivos
, ya que una estrella tiene un número entero de vértices, que además son positivos. Pues por lo contrario, el número estelar no existiría.
La proposición abarca todo los valores positivos enteros hasta el
, por lo que podemos afirmar que la proposición abarca un gran número de valores lo que la hace ser efectiva y con alcances bastante amplios.
Por último, se explicara brevemente como se obtuvo la proposición general. En primer lugar, al analizar números especiales se tuvo en cuenta los números triangulares y los números estelares. Los números triangulares sirvieron para introducir el concepto del número especial. Tras entender esto se empezó a trabajar con los números estelares, y lo primero que se tomo en cuenta fue el numero 6- estelar. Al organizar los datos obtuvimos un patrón respecto a los múltiplos de 12, lo que ayudo posteriormente a comprobar los resultados. Luego de realizar las secuencias, se vio que estas eran sucesiones cuadráticas, por lo que se empleo
para obtener la proposición general. Tras comprobar la validez al reemplazar y al confirmar por medio del método de los múltiplos se tuvo en cuenta la proposición del término enésimo. Es importante señalar que se empleó la calculadora Casio fx-9860GII SD Esto se repitió con los números 4 y 5 estelares, mostrando que las proposiciones generales solo variaban en un aspecto muy determinante, lo que permitió reunir toda la investigación hecha previamente en la proposición general establecida.
Conclusión
Tras haber realizado todos las pasos planteados, se llega a la conclusión de que la formula general para hallar el termino enésimo de los números
estelares es:
. Con esta fórmula se puede saber el número de puntos que va a tener cualquier tipo de estrella en cualquier término, sin necesidad de dibujar todas las sucesiones, y de una manera más sencilla y rápida. En lo personal, encontré dificultad en dibujar las estrellas, pero sin embargo, estas me sirvieron para hallar la formula general, la cual tiene un gran valor, pues es una herramienta que facilita el hallazgo de sucesiones.
Referencias:
AULA 365 SPEEDY “Sucesiones numericas” [En linea] [Citado el 28 de abril del 2012]
MIRANDA UBALDO, Julio A. “Sucesion aritmética cuadrática” [Enlinea] [Citado el 28 de abril del 2012]
AULA 365 SPEEDY “Sucesiones numericas” [En linea] [Citado el 28 de abril del 2012]