Tarea Tipo 1 - Fracciones de Lacsap

by rococo222 (student)

Kevin Martínez Cárdenas A01017802
22/04/2012
Matemáticas IB NM
Tarea Tipo 1 - Fracciones de Lacsap
El objetivo de la siguiente tarea es establecer una proposición general para el siguiente conjunto de números presentados en un patrón simétrico. En la tarea se encontrarán numeradores adicionales para ejemplificar de mejor manera el comportamiento del conjunto. Se calcularán filas adicionales para demostrar la utilidad de la formula propuesta, y hallar una proposición general, discutiendo sus alcances y limitaciones.
1 1
1 3/2 1
1 6/4 6/4 1
1 10/7 10/6 10/7 1
1 15/11 15/9 15/9 15/11 1

El primer paso para encontrar la sexta fila de numeradores es observar el patrón que presenta el conjunto de números. Se puede observar que al primer numerador se le suman dos unidades, al siguiente se le suman tres, al próximo cuatro y esto continua infinitamente. Por lo anterior sabemos que de la cuarta a la quinta fila se suman cinco

unidades, así que en la sexta fila se sumarán seis. Para aclarar esta observación se presenta la siguiente tabla:
Tabla de numeradores contra la fila n
Número de fila (n) 1 2 3 4 5
Numerador (N) 1 3 6 10 15
Diferencia con el numerador anterior No hay 2 3 4 5
De lo anterior, para hallar el numerador de la sexta tenemos como resultado 15+6=21; aclarando que el numerador es el mismo en cualquier lugar de la fila n, el conjunto quedaría de la siguiente manera:

1 1
3 3 3
6 6 6 6
10 10 10 10 10
15 15 15 15 15 15
21 21 21 21 21 21 21
Para facilitar el hallazgo de los numeradores representados por N, se expone la siguiente gráfica con la relación entre éstos y el número de fila n.
Gráfica No. 1

De la gráfica anterior se observa que se tiende a un comportamiento parabólico, por lo cual la fórmula para hallar cualquier numerador á cuadrática.
Con los datos anteriores se consiguió una fórmula de ajuste

en Logger Pro que se muestra a continuación:
Gráfica No. 2

Finalmente, la fórmula encontrada para el numerador es N = (n^2+n)/2, la cual, recordando el tema de series y sucesiones puede reescribirse como la sumatoria ∑_(n=1)^n▒x, para entender como funciona se dará un ejemplo de la sumatoria:
En la fila tres el numerador es seis, así que n valdrá tres empezando por uno ∑_(n=1)^3▒x = 1+2+3=6
El siguiente paso para encontrar la sexta y séptima fila es considerar la sumatoria del numerador antes propuesta y hallar el patrón del denominador.
Siguiendo lo párrafos previos tenemos que ∑_(n=1)^n▒x , así que:
Para el numerador de la sexta fila ∑_(n=1)^6▒x = 1+2+3+4+5+6=21
Para el numerador de la séptima fila ∑_(n=1)^7▒x = 1+2+3+4+5+6+7=28
El siguiente conjunto solo muestra los denominadores de las primeras cinco filas:
1 1
3 2 3
6 4 4 6
10 7 6 7 10
15 11 9 9 11 15
La razón por la que los números anteriormente mostrados,

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cuando r = 0, no están en el conjunto original se debe a que están simplificados, es decir, en la primera fila la fracción es 1/1, en la segunda fila es 3/3, en la tercera 6/6, etc.
Para hallar los siguientes denominadores, graficaremos en Logger Pro los de la tercera, cuarta y quinta fila en relación con su posición llamada r; por deducción, se observa que estos formarán una parábola en los tres casos y ofrecerán una fórmula cuadrática de ajuste.
Gráfica No. 3

De la gráfica anterior tenemos que x = r, por lo que la fórmula para encontrar el denominador es D = r2-3r+6

Gráfica No. 4

De la segunda gráfica tenemos que x = r, por lo que la fórmula para encontrar el denominador es D = r2-4r+10
Gráfica No. 5

De la tercera gráfica tenemos que x = r, por lo que la fórmula para encontrar el denominador es D = r2-5r+15
Analizando los resultados anteriores y tomando como referencia la fórmula D = r2-5r+15, podemos observar que el

término cuadrado (r2) en cualquiera de los tres casos es 1, el segundo término (-5r) será negativo, pero además siempre coincidirá con el número de fila n, por último el tercer término (15) corresponde al numerador, por lo que la fórmula quedaría expresada de la siguiente forma:
D = r2-nr+ ∑_(n=1)^n▒x donde r es el enésimo elemento de la fila y n es la enésima fila en el conjunto de números.
Para comprobar la fórmula se obtendrá la tercera fila y posteriormente se hallará la sexta y séptima fila, se usará: N/D= (∑_(n=1)^n▒x)/(r2-nr+ ∑_(n=1)^n▒x)
Tercera fila
Tercera fila, primer término: n=3, r=0 tenemos: (∑_(n=1)^3▒x)/(0^2-3(0)+∑_(n=1)^3▒x) = (1+2+3)/(1+2+3) = 6/6 = 1
Tercera fila, segundo término: n=3, r=1 tenemos: (∑_(n=1)^3▒x)/(1^2-3(1)+∑_(n=1)^3▒x) = (1+2+3)/(-2+1+2+3) = 6/4
Tercera fila, tercer término: n=3, r=2 tenemos: (∑_(n=1)^3▒x)/(2^2-3(2)+∑_(n=1)^3▒x) = (1+2+3)/(-2+1+2+3) = 6/4
Tercera fila, cuarto término: n=3, r=3 tenemos: (∑_(n=1)^3▒x)/(3^2-3(3)+∑_(n=1)^3▒x)

= (1+2+3)/(1+2+3) = 6/6 = 1
Sexta fila
Sexta fila, primer término: n=6, r=0 tenemos: (∑_(n=1)^6▒x)/(0^2-6(0)+∑_(n=1)^6▒x) = (1+2+3+4+5+6)/(1+2+3+4+5+6) = 21/21 = 1
Sexta fila, segundo término: n=6, r=1 tenemos: (∑_(n=1)^6▒x)/(1^2-6(1)+∑_(n=1)^6▒x) = (1+2+3+4+5+6)/(-5+1+2+3+4+5+6) = 21/(-5+21) = 21/16
Sexta fila, tercer término: n=6, r=2 tenemos: (∑_(n=1)^6▒x)/(2^2-6(2)+∑_(n=1)^6▒x) = (1+2+3+4+5+6)/(-8+1+2+3+4+5+6) = 21/(-8+21) = 21/13
Sexta fila, cuarto término: n=6, r=3 tenemos: (∑_(n=1)^6▒x)/(3^2-6(3)+∑_(n=1)^6▒x) = (1+2+3+4+5+6)/(-9+1+2+3+4+5+6) = 21/(-9+21) = 21/12
Sexta fila, quinto término: n=6, r=4 tenemos: (∑_(n=1)^6▒x)/(4^2-6(4)+∑_(n=1)^6▒x) = (1+2+3+4+5+6)/(-8+1+2+3+4+5+6) = 21/(-8+21) = 21/13
Sexta fila, sexto término: n=6, r=5 tenemos: (∑_(n=1)^6▒x)/(5^2-6(5)+∑_(n=1)^6▒x) = (1+2+3+4+5+6)/(-5+1+2+3+4+5+6) = 21/(-5+21) = 21/16
Sexta fila, séptimo término: n=6, r=6 tenemos: (∑_(n=1)^6▒x)/(6^2-6(6)+∑_(n=1)^6▒x) = (1+2+3+4+5+6)/(1+2+3+4+5+6)

= 21/21 = 1
Séptima fila
Séptima fila, primer término: n=7, r=0 tenemos: (∑_(n=1)^7▒x)/(0^2-7(0)+∑_(n=1)^7▒x) = (1+2+3+4+5+6+7)/(1+2+3+4+5+6+7) = 28/28 = 1
Séptima fila, segundo término: n=7, r=0 tenemos: (∑_(n=1)^7▒x)/(1^2-7(1)+∑_(n=1)^7▒x) = (1+2+3+4+5+6+7)/(-6+1+2+3+4+5+6+7) = 28/(-6+28) = 28/22

Séptima fila, tercer término: n=7, r=0 tenemos: (∑_(n=1)^7▒x)/(2^2-7(2)+∑_(n=1)^7▒x) = (1+2+3+4+5+6+7)/(-10+1+2+3+4+5+6+7) = 28/(-10+28) = 28/18

Séptima fila, cuarto término: n=7, r=0 tenemos: (∑_(n=1)^7▒x)/(3^2-7(3)+∑_(n=1)^7▒x) = (1+2+3+4+5+6+7)/(-12+1+2+3+4+5+6+7) = 28/(-12+28) = 28/16

Séptima fila, quinto término: n=7, r=0 tenemos: (∑_(n=1)^7▒x)/(4^2-7(4)+∑_(n=1)^7▒x) = (1+2+3+4+5+6+7)/(-12+1+2+3+4+5+6+7) = 28/(-12+28) = 28/16

Séptima fila, sexto término: n=7, r=0 tenemos: (∑_(n=1)^7▒x)/(5^2-7(5)+∑_(n=1)^7▒x) = (1+2+3+4+5+6+7)/(-10+1+2+3+4+5+6+7) = 28/(-10+28) = 28/18

Séptima fila, séptimo término: n=7, r=0 tenemos:

(∑_(n=1)^7▒x)/(6^2-7(6)+∑_(n=1)^7▒x) = (1+2+3+4+5+6+7)/(-6+1+2+3+4+5+6+7) = 28/(-6+28) = 28/22
Séptima fila, octavo término: n=7, r=0 tenemos: (∑_(n=1)^7▒x)/(7^2-7(7)+∑_(n=1)^7▒x) = (1+2+3+4+5+6+7)/(1+2+3+4+5+6+7) = 28/28 = 1

Entonces, la proposición general para cualquier término del conjunto numérico sería En(r) = (∑_(n=1)^n▒x)/(r2-nr+ ∑_(n=1)^n▒x) , es importante destacar que, a excepción de que el numerador y denominador sean el mismo, la fracción resultante no se debe simplificar. Para comprobar que la proposición general funciona adecuadamente se calculará la segunda, octava y novena fila.
Segunda fila

E2(0) = (∑_(n=1)^2▒x)/(0^2-2(0)+∑_(n=1)^2▒x) = (1+2)/(1+2) = 3/3 = 1
E2(1) = (∑_(n=1)^2▒x)/(1^2-2(1)+∑_(n=1)^2▒x) = (1+2)/(-1+1+2) = 3/(-1+3) = 3/2

E2(2) = (∑_(n=1)^2▒x)/(2^2-2(2)+∑_(n=1)^2▒x) = (1+2)/(1+2) = 3/3 = 1

Octava fila

E8(0) = (∑_(n=1)^8▒x)/(0^2-8(0)+∑_(n=1)^8▒x) = (72/2)/(72/2) = 36/36 = 1
E8(1) = (∑_(n=1)^8▒x)/(1^2-8(1)+∑_(n=1)^8▒x)

= (72/2)/(-7+72/2) = 36/(-7+36) = 36/29

E8(2) = (∑_(n=1)^8▒x)/(2^2-8(2)+∑_(n=1)^8▒x) = (72/2)/(-12+72/2) = 36/(-12+36) = 36/24
E8(3) = (∑_(n=1)^8▒x)/(3^2-8(3)+∑_(n=1)^8▒x) = (72/2)/(-15+72/2) = 36/(-15+36) = 36/21

E8(4) = (∑_(n=1)^8▒x)/(4^2-8(4)+∑_(n=1)^8▒x) = (72/2)/(-16+72/2) = 36/(-16+36) = 36/20
E8(5) = (∑_(n=1)^8▒x)/(5^2-8(5)+∑_(n=1)^8▒x) = (72/2)/(-15+72/2) = 36/(-15+36) = 36/21

E8(6) = (∑_(n=1)^8▒x)/(6^2-8(6)+∑_(n=1)^8▒x) = (72/2)/(-12+72/2) = 36/(-12+36) = 36/24
E8(7) = (∑_(n=1)^8▒x)/(7^2-8(7)+∑_(n=1)^8▒x) = (72/2)/(-7+72/2) = 36/(-7+36) = 36/29

E8(8) = (∑_(n=1)^8▒x)/(8^2-8(8)+∑_(n=1)^8▒x) = (72/2)/(72/2) = 36/36 = 1

Novena fila

E9(0) = (∑_(n=1)^9▒x)/(0^2-9(0)+∑_(n=1)^9▒x) = (1+2+3+4+5+6+7+8+9)/(1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 45/45 = 1
E9(1) = (∑_(n=1)^9▒x)/(1^2-9(1)+(9^2+9)/2) = (1+2+3+4+5+6+7+8+9)/(-8+1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 45/(-8+45) = 45/37

E9(2) = (∑_(n=1)^9▒x)/(2^2-9(2)+∑_(n=1)^9▒x) = (1+2+3+4+5+6+7+8+9)/(-14+1+2+3+4+5+6+7+8+9)

= 45/(-14+45) = 45/31
E9(3) = (∑_(n=1)^9▒x)/(3^2-9(3)+∑_(n=1)^9▒x) = (1+2+3+4+5+6+7+8+9)/(-18+1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 45/(-18+45) = 45/27

E9(4) = ((9^2+9)/2)/(4^2-9(4)+(9^2+9)/2) = (1+2+3+4+5+6+7+8+9)/(-20+1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 45/(-20+45) = 45/25
E9(5) = (∑_(n=1)^9▒x)/(5^2-9(5)+∑_(n=1)^9▒x) = (1+2+3+4+5+6+7+8+9)/(-20+1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 45/(-20+45) = 45/25

E9(6) = (∑_(n=1)^9▒x)/(6^2-9(6)+∑_(n=1)^9▒x) = (1+2+3+4+5+6+7+8+9)/(-18+1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 45/(-18+45) = 45/27
E9(7) = (∑_(n=1)^9▒x)/(7^2-9(7)+∑_(n=1)^9▒x) = (1+2+3+4+5+6+7+8+9)/(-14+1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 45/(-14+45) = 45/31

E9(8) = (∑_(n=1)^9▒x)/(8^2-9(8)+∑_(n=1)^9▒x) = (1+2+3+4+5+6+7+8+9)/(-8+1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 45/(-8+45) = 45/37
E9(9) = (∑_(n=1)^9▒x)/(9^2-9(9)+∑_(n=1)^9▒x) = (1+2+3+4+5+6+7+8+9)/(1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 45/45 = 1

Gracias a las operaciones realizadas se sabe que el conjunto de números quedará de la siguiente forma y con la posibilidad

de crecer al infinito:
1 1
1 3/2 1
1 6/4 6/4 1
1 10/7 10/6 10/7 1
1 15/11 15/9 15/9 15/11 1
1 21/16 21/13 21/12 21/13 21/16 1
1 28/22 28/18 28/16 28/16 28/18 28/22 1
1 36/29 36/24 36/21 36/20 36/21 36/24 36/29 1
1 45/37 45/31 45/27 45/25 45/25 45/27 45/31 45/37 1
Durante la investigación matemática se encontraron algunas limitaciones, en primer lugar n debe ser positivo y entero, mientras que r debe ser entero, por lo que las fracciones encontradas jamás serán menores o iguales a cero. El segundo caso es que n ≥ r ≥ 0. El tercer caso es que si el numerador es igual al denominador, estos deben simplificarse a 1.
En conclusión, la proposición general es una manera rápida y fiable de encontrar los elementos del conjunto numérico, sin la necesidad de conocer valores anteriores y con la ventaja de poder comprobarse rápidamente con pocos cálcul

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