Así, el logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.
1 algoritmos: En , , y disciplinas relacionadas, un algoritmo es una lista bien definida, ordenada y finita de operaciones que permite hallar la solución a un problema.
BASES DE LOS LOGARITMOS
- Considere las siguientes progresiones:
a) log 2 8, log 4 8, log 8 8, log 16 8, log 32 8, …
b) log 3 81, log 9 81, ,log 27 81, log 81 81, …
c) log 5 25, log 25 25, log 125 25, log 625 25, …
d) log m mk, log m2 mk, log m3 mk, log m4 mk, …
- Escriba los siguientes dos términos de cada progresión.
Debido a la progresión geométrica de las bases de los logaritmos, podemos hallar fácilmente los siguientes dos términos, ya que estos son multiplicados por la propia razón de cada uno de los ejercicios:
log 2 8, log 4 8, log 8 8, log 16 8, log 32 8, … log 64 8, log 128 8 (r = log 2n 23)
log 3 81, log 9 81, ,log 27 81, log 81 81, … log 243 81, log 729 81 (r = log 3n 34)
log 5 25, log 25 25, log 125 25, log 625 25, … log 3125 25, log 15625 25 (r = log 5n 52)
log m mk, log m2 mk, log m3 mk, log m4 mk, … log m5 mk, log m6 mk (r = log mn mk)
- Halle una expresión para calcular el término n-ésimo de cada progresión.
Para obtener una expresión para calcular el término n-ésimo de cada progresión, descomponemos tanto los números como las bases de los logaritmos:
Ejemplo:
a) t1 = log 2 8 , t2 = log 4 8 .˙. tn = log 2n 23 t22 = log 222 23
b) t1 = log 381 , t2 = log 9 81 .˙. tn = log 3n 34 t22 = log 322 34
c) t1 = log 5 25 , t2 = log 25 25 .˙. tn = log 5n 52 t22 = log 522 52
d) t1 = log m mk , t2 = log m2 mk .˙. tn = log mn mk tn = log mn mk
DONDE “n” ES IGUAL AL LUGAR DEL TERMINO.
-
Escriba las expresiones en la forma donde p, q € Z
Según las propiedades de los logaritmos, sabemos que cuando el número (a) está elevado a un exponente, o la base (b) está elevada a un exponente, estos exponentes pasan a multiplicar o dividir al logaritmo: log bn ap =
a) log 2n 23 = log 2 2 =
b) log 3n 34 = log 3 3 =
c) log 5n 52 = log 5 5 =
d) log mn mk = log m m =
- Dado lo siguiente:
a) log 4 64, log 8 64, log 32 64
b) log 7 49, log 49 49, log 343 49
c) log 125, log 125, log 125
d) log 8 512, log 2 512, log 16 512
- Calcule, dando sus respuestas en la forma donde p, q € Z
Para resolver este ejercicio de una manera más sencilla, primero debemos de descomponer el número y la base del logaritmo para después aplicar la propiedad: log bn ap =
a) log 4 64 , log 8 64, log 32 64
log 22 26, log 23 26, log 25 26
log 2 2, log 2 2, log 2 2
, ,
b) log 7 49 , log 49 49, log 343 49
log 7 1 72, log 7 2 72, log 7 3 72
log 7 7, log 7 7, log 7 7
, ,
c) log 125 , log 125, log 125
log 5-1 53, log 5-3 53 , log 5-4 53
log 5 5, log 5 5 , log 5 5
, ,
d) log 8 512 , log 2 512, log 16 512
log 23 29, log 21 29 , log 24 29
log 2 2, log 2 2 , log 2 2
, ,
- Describe cómo se puede obtener la tercera respuesta de cada fila a partir de las dos primeras respuestas.
Para obtener una tercera respuesta, a partir de las dos primeras, se debió descomponer el logaritmo de la forma y resolverlo; de esta forma, obtendremos una progresión armónica 2, con la cual podremos obtener los siguientes términos.
- Cree otros dos ejemplos que sigan también el patrón anterior.
a) log 2187 27 , log 243 27 , log 27 27
log 3 7 33 , log 3 5 33 , log 3 3 33
log 3 3 , log 3 3 , log 3 3
, ,
b) log 256 , log 256, log 256
log 41 44 , log 43 44 , log 4-4 44
log 4 4 , log 4 4 , log 44
, ,
2 progresión armónica: Se llama así a aquella progresión en la cual, las inversas de sus términos, forman una progresión aritmética.
III. Sea log a x = c y log b x = d,
-
Halle la proposición general que exprese log ab x en función de c y d.
Para realizar este ejercicio utilizamos las propiedades:
- Compruebe la validez de la proposición general que ha obtenido, utilizando para ello otros valores de a, b y x.
Sea log 2 8 = c y log 4 8 = d
- Analice el alcance y/o las limitaciones de a, b y x.
Si analizamos la proposición general obtenida en la pregunta uno (1), podemos darnos cuenta de que tiene algunas limitaciones tales como:
y , por propiedades de logaritmos.
, y , puesto a que un denominador no puede ser cero.
Además si x es positivo, a y b no pueden ser negativos.
- Explique cómo obtuvo la proposición general.
La proposición general la podemos obtener utilizando las propiedades de los logaritmos:
Y
Además, sabemos que si invertimos la base con el número del logaritmo, obtendremos la inversa del resultado:
COLEGIO MAGISTER
Matemática
I° IB
Evaluación Interna
BASES DE LOS LOGARITMOS
FIORELLA GAMERO
Lima - Perú
2008