Bachillerato Internacional

Matemáticas NM

Evaluación Interna

Investigación matemática

El copo de nieve de Koch                                                                             Tarea de tipo I, NM

Descripción

En 1904 Helge von Koch identificó un fractal que parecía responder al modelo de un copo de nieve. El fractal se construye con un triángulo equilátero; sobre el tercio medio de cada lado se construye otro triángulo equilátero, y se repite el proceso indefinidamente. A continuación se muestra claramente el proceso con el triángulo original en la fase 0 y las figuras resultan tras una, dos y tres iteraciones.

Método

Sea = número de lados,= longitud de un lado,  =longitud del perímetro y  = área del copo de nieve, en la fase n-ésima.

1. Tomando la longitud inicial del lado igual a 1, elabore una tabla que muestre los valores de ,, , y   para =0, 1 , 2 y 3. Utilice valores exactos para los cálculos. Explique la relación entre los términos sucesivos de la tabla para cada cantidad , , y  .

2. Mediante una calculadora de pantalla grafica o un paquete de programas adecuado, cree las graficas de los cuatro conjuntos de valores determinados según el valor de . Imprima cada grafica por separado.

3. Para cada una de las gráficas anteriores, elabore un enunciado en función de  que generalice el comportamiento que muestra la grafica. Explique cómo ha llegado a estas generalizaciones.

3

4

         En el caso de la obtención del número de lados o , es menester mencionar que se empezó con el análisis de la iteración 0  que nos muestra un triangulo equilátero, el cual  se compone por 3 lados con valor de 1 en su longitud.

         Se observa cada  iteración que el número de lados se ve cuadriplicado en cada fase; esto es porque  con cada iteración se remplaza la tercera parte del triángulo con otro triángulo en la misma posición en la cual fue eliminado. Gracias a esto, podemos  afirmar que con cada iteración el  se ve afectado en un cuádruplo. Esto se ejemplifica de la siguiente manera: tenemos que  en la primera iteración, en la fase cero se empieza por un triangulo, por lo tanto consta de 3 lados, esto se expresa de la siguiente manera. Para resolver la 2da iteración, tenemos que partir tomando la primera iteración, por lo tanto obtenemos lo siguiente:

     y así sucede con las otras fases:

En cuanto a  (Longitud de cada lado), se nos afirma que el valor de cada  lado en la fase 0 es de 1. Al analizar los copos vemos que con cada iteración, se disminuye la longitud de cada lado en , por lo tanto , cada iteración es reflejo de una repetición en disminución de cada lado es por consecuente que obtenemos lo siguiente:

        Con esto se observa la afirmación anterior de la disminución de la longitud de cada lado respectivamente al avance de cada iteración por un valor de .


        En cuestión del perímetro, se maneja una lógica semejante, ya que el perímetro es la suma de la longitud de todos los lados, por lo tanto será directamente proporcional al cambio en cada iteración, pero para la obtención del perímetro fue necesario obtener el siguiente modelo, se observa un incremento de  por cada iteración :

-
-
-

        Para la obtención de fue necesario  la creación de un modelo, a partir del cual se pudiera encontrar el área de cualquier iteración,  para esto  se utilizo la fórmula del área del triangulo  equilátero y se sustituyo con el teorema de Pitágoras, por el cual se llego a la afirmación que con cada iteración el área aumentaba en un , y de este resultado se partió para la creación del siguiente modelo, que sirve para sacar el área de la n-ésima iteración:

Por ejemplo  en el caso de  se desarrollo de la siguiente manera:

√

A continuación se muestran la gráfica de = número de lados, para =0, 1 , 2 y 3.

Grafica 1. Numero de lados de las fases n= 0, 1, 2 y 3.

        A través del  desarrollo de la necesidad de obtener el numero de lados de  la n-ésima iteración,  surgió la necesidad de crear un modelo el cual cumpliera con las expectativas de ofrecernos el numero de Lados, en cualquier fase es a partir del análisis de los resultados que se llego al siguiente modelo, el cual se obtuvo al encontrar la relación de que con cada iteración, el numero de lados aumentaba 4 veces su valor:

        Mediante el cual se obtuvieron los siguientes resultados al sustituir n  con los valores 0,1,2 y 3 respectivamente al número de fase deseada.

Al comparar estos resultados con los de la Tabla 1 (Valores para el número de lados,  longitud de un lado, perímetro y área para n=0, 1, 2 y 3”), vemos que son los mismos valores.

A continuación se muestran la gráfica de  = área del copo de nieve, para =0, 1 , 2 y 3.
Grafica 4. Área de las  fases n= 0, 1, 2 y 3.

 

        Fue necesario la creación de  un modelo matemático que a partir  de este pudiéramos encontrar el área de  cualquier  iteración en cualquier fase para ello se tomo, la formula  fundamental del área del triangulo equilátero y a través de un despeje matemático, se creó un modelo en la sustitución del teorema de Pitágoras y la formula del Área del triangulo.

Para la obtención del mismo se siguió el siguiente proceso:

        Mediante este modelo se obtuvieron los valores de las áreas de cada fase que se representan a continuación:

√        Para encontrar los valores de ,, , y   para =4 se utilizaron  los modelos matemáticos respectivamente para la obtención de los siguientes resultados :

Diagrama 1. (Un lado de la Fase 4)

Tabla 2. Fase 4

         Para encontrar los valores de ,, , y   para =4 se utilizaron  los modelos matemáticos respectivamente para la obtención de los siguientes resultados :

Tabla 3. Fase 6

A través del modelo del Área propuesto con anterioridad se buscara las sucesiones a partir de :

√

        Con el desarrollo del presente trabajo he podido concluir que las iteraciones cuentan con un área  finita, sin embargo un perímetro infinito, el área será proporcional, pero de acuerdo a los copos de Koch los fractales son repeticiones infinitas, por lo tanto resulta que cuando el área tiende a ser infinita y se reflejara en el siguiente modelo matemático:

√