math work 1

Por otra parte, cada línea en las gráficas esta distinguida con un color diferente.

• Las parábolas, en rojo.
• Y = X, en magenta.
• Y = 2X, en negro.

El software utilizado en todo el trabajo es Graphmatica y el editor de ecuaciones de Microsoft Word.

---

Desarrollo del trabajo.

Apartado 1.

Considere la parábola  y  = (x - 3)2  + 2 = x2 – 6x  + 11 y las rectas y = x e y =2x.

• Utilizando medios tecnológicos, halle las cuatro intersecciones que se muestran en el dibujo.

• Rotule los valores correspondientes a la coordenada x de estas intersecciones como x1, x2, x3 y x4 en el orden en el que aparecen, de izquierda a derecha sobre el eje x.
• Halle los valores de x2 – x1 y de x4 – x3  y denomine a estos valores SL  y SR respectivamente.
• Finalmente, calcule  D =  

Para poder trabajar con las intersecciones de la gráfica, debo definir que es.

Definición:

“Punto común entre dos rectas incidentes o entre una recta y un plano”. 

 

 Las cuatro intersecciones son:

 

Apartado 2.

Halle el valor de D para otra parábolas de la forma y = ax2  +  bx  + c, a >0, y que tengan el vértice en el primer cuadrante, cuando se cortan con las rectas y = x e y = 2x. Considere diversos valores de a, empezando por a = 1. Formule una conjetura acerca del valor de D para estas parábolas.

A = 1

 Vértices

1-

2-

3-

A = 2

 Vértices

1-

2-

3-

A = 3

 Vértices

1-

2-

3-

A =

 Vértices

1-

2-

3-

A = ½

 Vértices

1-

2-

3-

Apartado 3.

Investigue lo que sucede a su conjetura para cualquier valor real de a y para cualquier posición de vértice. Mejore su conjetura como sea necesario, y demuéstrela. Mantenga la misma convención para rotular puntos que utilizó en el apartado 1 y 2, llamando a las intersecciones con la recta y = x, x2 y  x3  y a las intersecciones con la recta y = 2x, x1 y x4.

Para realizar esta investigación es necesario saber determinados datos sobre los polinomios cuadráticos.

El polinomio cuadrático P(x) = ax2 + bx + c tiene discriminante Δ = b2 − 4ac, que es la cantidad bajo el signo de la raíz cuadrada en la fórmula de la solución de la ecuación de segundo grado. Dados los números reales a, b, c, se tiene:

• Cuando Δ > 0, P(x) tiene dos raíces reales distintas, y su representación cruza el eje de las abscisas dos veces.
• Cuando Δ = 0, P(x) tiene dos raíces coincidentes reales, y su representación es tangente al eje de abscisas.
• Cuando Δ < 0, P(x) no tiene raíces reales y su representación queda estrictamente por encima o por debajo del eje de abscisas. En este caso, P(x) tiene dos raíces complejas distintas.

Primero haré la generalización para y = x, donde (h ,k) son los vértices.

Yo se que la suma de las raíces es  y que de lo anterior surgen las raíces que son x2 y x3, entonces hago lo siguiente.

Ahora hago lo mismo pero para y = 2x.

Concluyo que:

Mediante el discriminante puedo ver las condiciones para que existan los puntos x1, x2, x3 y x4.

Para y =x.

Para y = 2x.

Apartado 4.

¿Sigue siendo válida esta conjetura si se cambia de rectas de intersección? Modifique su conjetura, si fuera necesario, y demuéstrela.    

Para saber si mi conjetura es valida cuando cambio de rectas de intersección, sustituiré y = x por y = mx, y y =2x por y = m`x.

Primero trabajare con  

Como ya sabemos la suma de las raíces es , entonces:

Ahora trabajare con la siguiente intersección,

Concluye que:

Ejemplo:

Apartado 5.

Determine si se puede formular una conjetura similar para un polinomio de grado tres.

Un polinomio de grado tres:

Para formular una conjetura similar realizare procedimientos muy parecidos a los anteriores. La conjetura será para cualquier recta que pase por el origen. En el caso del polinomio de grado tres las suma de las raíces es .

Para la suma de las raíces me parece importante destacar que aunque el cero no influye igual decidí ponerlo para que quede mas claro.

La siguiente conjetura es para polinomios de tercer grado sin término independiente.

 

Primero comenzare con d=0.

A continuación será con c = d = 0.

Finalmente será con b = c = d = 0.

Ejemplo:

Realizare un ejemplo para la última conjetura.

A pesar que hay una mínima diferencia siempre tiende a cero.

Apartado 6.

Considere si sería posible modificar la conjetura para incluir polinomios de grado superior.

En este caso he realizado una conjetura para cualquier grado. Aplicando los conocimientos anteriores.

 

Bibliografía

• VALIENTE BARDERAS, Santiago. Diccionario de Matemáticas. Pearson 1998.

• http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica).

• http://es.wikipedia.org/wiki/Discriminante

---