Méthode graphique
Avec l’aide de la calculatrice graphique TI-83, j’ai pu trouver l’équation qui définissait la relation entre le nombre de parallèles obliques et le nombre de parallélogrammes formés. Premièrement, j’ai inséré les données des deux premières colonnes du tableau ci-dessus dans deux listes de ma calculatrice (L1 et L2) (Image 1) Ensuite, j’ai utilisé « Stat Plot » pour tracer les points de ma relation sur un plan cartésien (Image 2) . Après ceci, j’ai déterminé quelle fonction serait la plus approprié pour définir ma relation. En évaluant la forme faite par la courbe, j’ai décidé que les deux meilleurs choix d’équation consistent d’une fonction quadratique et d’une fonction cubique. J’ai donc calculé avec la calculatrice les deux équations en utilisant « Stat », « Calc » et « QuadRed » / « CubicReg ». Les fonctions qu’on m’a données sont : 1) une fonction quadratique y=0,5x2-0,5x+0 (Image 3) et 2) une fonction cubique y=0x3+0,5x2-0,5x+0. Puisque la fonction cubique a un coefficient nul pour factoriser x3,il s’agit de la même formule que la fonction quadratique. Sachant cela en plus de connaître la validité de la formule (100%), je suis confiante que la fonction quadratique y=0,5x2-0,5x est parfaitement approprié pour définir les termes de la relation entre le nombre de parallèles obliques et le nombre de parallélogrammes formés. (Image 4)
Méthode algébrique
Puisque je sais que je cherche une fonction quadratique, j’ai déjà les connaissances pour savoir que la forme générale d’une fonction quadratique est y=ax2+bx+c. Je n’ai qu’à trouver les valeurs de a, b et c pour connaître mon équation.
Pour trouver a :
Dans une fonction quadratique, « a » correspond à la moitié des deuxièmes différences de la valeur de « y ». Donc,
a= 2e différence
2
a= 1
2
a=0,5 y=0,5x2+bx+c
Pour trouver c :
Dans une fonction quadratique, « c » correspond à l’ordonnée à l’origine. En consultant mon graphique ou mon tableau, je peux constater que lors qu’il y a 0 parallèles obliques, 0 parallélogramme est formé. Ceci veut donc dire que l’ordonnée à l’origine est (0,0) et que « c » est égal à 0.
c=0 y=0,5x2+bx+0
Pour trouver b :
En ayant les valeurs de « a » et de « c », je peux maintenant isoler b en remplaçant « x » et « y » par des valeurs que je connais déjà. Pour ce calcul, je vais utiliser le point (4, 6)
y=0,5x2+bx+c
6=0,5(42)+b4+0
6=8+4b
4b= -2
b= -0,5
DONC y=0,5x2-0,5x+0 qui équivaut y=0,5x2-0,5
De façon algébrique, j’ai réussi à obtenir la même fonction que lorsque je l’ai trouvé graphiquement.
-
Considérez ensuite le nombre de parallélogrammes formés par trois droites parallèles horizontales intersectés par des parallèles obliques. Proposez et testez un énoncé général pour ce cas.
Méthode graphique
Avec l’aide de la calculatrice graphique TI-83, j’ai pu trouver l’équation qui définissait la relation entre le nombre de parallèles obliques et le nombre de parallélogrammes formés pour trois droites parallèles de la même façon qu’avant. Premièrement, j’ai inséré les données des deux premières colonnes du tableau ci-dessus dans deux listes de ma calculatrice (L1 et L3) (Image 1) Ensuite, j’ai utilisé « Stat Plot » pour tracer les points de ma relation sur un plan cartésien (Image 2) . Après ceci, j’ai déterminé quelle fonction serait la plus approprié pour définir ma relation. Cette fois ci, je savais que la relation était sûre d’être une fonction quadratique, donc je l’ai calculé et la fonction qu’on m’a donné est y=1,5x2-1,5x+0. Sachant cela en plus de connaître la validité de la formule (100%), je suis confiante que la fonction quadratique y=1,5x2-1,5x+0 est parfaitement approprié pour définir les termes de la relation entre le nombre de parallèles obliques et le nombre de parallélogrammes formés lorsqu’il y a trois droites parallèles. (Image 4)
Méthode algébrique
Puisque je sais que je cherche une fonction quadratique, j’ai déjà les connaissances pour savoir que la forme générale d’une fonction quadratique est y=ax2+bx+c. Je n’ai qu’à trouver les valeurs de a, b et c pour connaître mon équation.
Pour trouver a :
Dans une fonction quadratique, « a » correspond à la moitié des deuxièmes différences de la valeur de « y ». Donc,
a= 2e différence
2
a= 3
2
a=1,5 y=1,5x2+bx+c
Pour trouver c :
Dans une fonction quadratique, « c » correspond à l’ordonnée à l’origine. En consultant mon graphique ou mon tableau, je peux constater que lors qu’il y a 0 parallèles obliques, 0 parallélogramme est formé. Ceci veut donc dire que l’ordonnée à l’origine est (0,0) et que « c » est égal à 0.
c=0 y=1,5x2+bx+0
Pour trouver b : En ayant les valeurs de « a » et de « c », je peux maintenant isoler b en remplaçant « x » et « y » par des valeurs que je connais déjà. Pour ce calcul, je vais utiliser le point (5, 30)
y=1,5x2+bx+c
30=1,5(52)+b5+0
30=37,5+5b
5b= -7,5
b= -1,5
DONC y=1,5x2-1,5x+0 qui équivaut y=1,5x2-1,5
De façon algébrique, j’ai réussi à obtenir la même fonction que lorsque je l’ai trouvé graphiquement.
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Maintenant généralisez vos résultats pour m droites parallèles horizontales intersectés par n droites parallèles obliques.
Premièrement, je peux transformer mes équations que j’ai déjà trouvés afin que je puisse substituer les variables de façon appropriée en plus d’obtenir une version factorisée de mes fonctions.
Les variables sont comme suit :
n= Nombre de droites parallèles obliques
m= Nombre de droites parallèles horizontale
p=Nombre de parallélogrammes formées
1) y=0,5x2-0,5 devient
p=1/2n2-1/2n
p=n2-n
2
p=n(n-1)
2
2) y=1,5x2-1,5 devient
p=3/2n2-3/2n
p=3n2-3n
2
p=3n(n-1)
2
Ensuite, je fais un tableau pour me montrer le nombre de parallélogrammes formés selon le nombre de parallèles obliques et parallèles horizontales.
Je remarque que les valeurs semblent se répéter, que certaines colonnes referment les même données que certains rangées. Ceci m’indique que la relation est un carré parfait et que le nombre de parallèles obliques et le nombre de parallèles horizontales sont indépendants l’un de l’autre et peuvent être facilement inversés.
Ceci veut donc dire que l’équation
p=n(n-1)
2
peut facilement devenir
p=m(m-1)
2
Si je multiplie ces deux formules ensemble, j’obtiens :
p=n(n-1) * m(m-1)
2 2
p=m(m-1)* n(n-1)
2*2
p=m(m-1)* n(n-1)
4
Voici la formule qui généralise la relation entre n, le nombre de droites parallèles obliques, m, le nombre de droites parallèles horizontale et p , le nombre de parallélogrammes formées.
- Présentez vos résultats dans un tableur et utilisez cela pour trouver l’énoncé général pour l’ensemble de ces situations.
- Testez la validité de votre énoncé.
Pour tester la validité de mon énoncé, je vais calculer le nombre de parallélogrammes avec les valeurs de m=3 n=5, m=4 n=2 et m=7 n=3
Les valeurs que je suis censé obtenir sont :
Et voilà, 3 réponses valides qui confirment la validité de mon équation.
- Discutez sa portée et/ou ses limites.
Il n’y a presque aucune limite à mon équation. La seule limite physique, on pourrait dire, est que pour les valeurs de 0 et de 1, m et n donne une réponse nulle. Ceci est en fait vrai car lorsqu’il y a 0 ou 1 droite parallèle horizontale ou oblique, il n’y a aucun parallélogramme formé.