Note Finanziarie

a cura di Francesco Ceci

 

IL MODELLO DI BLACK & SCHOLES

 

Il primo modello completo di prezzatura di un'opzione europea su uno strumento finanziario, il piú noto ed il piú utilizzato. Esso risale al 1973 e si basa sulla constatazione che il valore di un'opzione puó essere replicato da un portafoglio composto da una certa quota dello strumento finanziario sottostante aggiustato dinamicamente.

L'analisi di Black e Scholes (BS) procede approssimativamente in questo modo:

(i) il prezzo dello strumento finanziario sottostante è determinato da un processo stocastico (cioè casuale) lognormale che dipende solo dal suo prezzo medio atteso e dalla sua volatilità ;
(ii) il prezzo dell'opzione è una funzione del prezzo dello strumento finanziario e della vita dell'opzione stessa;
(iii) si puó costruire un portafoglio composto dallo strumento finanziario e dall'opzione fatto in modo tale che il termine stocastico derivante dall'assunzione (i) scompaia;
(iv) dato che il portafoglio costruito sub (iii) non ha alcuna componente casuale, esso deve dare un rendimento certo e, per la condizione di non arbitraggio, tale rendimento deve essere pari al tasso di interesse "a rischio zero" (riskless rate).

Aggiungendo infine al problema le "condizioni al contorno" tipiche di un'opzione europea (ad esempio, la condizione che il valore di un'opzione call a scadenza è pari alla differenza, se positiva, tra il prezzo finale dello strumento e lo strike), BS ricavano questa formula:

C = S × N(d1) - X × exp(-rt) × N(d2) per l'opzione europea call e
P = X × N(-d2) × exp(-rt) - S × N(-d1) per l'opzione europea put.

In queste formule, C e P sono i premi delle opzioni europee call e put rispettivamente. S è il prezzo spot dello strumento finanziario sottostante, X è lo strike dell'opzione, r è il tasso di interesse "risk-free", t è la vita residua dell'opzione, N(*) rappresenta la distribuzione normale cumulata calcolata al punto indicato e infine d1 e d2 sono dati da:

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d1 = {ln(S/X) + (r + σ2/2)t} / (σ⋅√t)
d2 = d1 -
σ⋅√t

Nella sua forma tradizionale, l'equazione di BS risolve il problema della prezzatura di un'opzione europea su uno strumento che non corrisponde dividendi. E' importante osservare che il prezzo dell'opzione, come ricavato da BS, non dipende nè dal prezzo futuro atteso dello strumento sottostante, nè da valutazioni individuali di preferenza del rischio. Infine, tutti i parametri richiesti dal modello sono direttamente osservabili tranne la volatilità che puó tuttavia venire stimata con metodi statistici. Il modello è tuttavia soggetto alle seguenti restrizioni:

(a) i mercati sono perfetti e non ...

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