Round and Round -nà(+1) à(¸2) à

                                                           2.03125

                                                           2.016625

                                                     2.0078125

                                                           2.00390625

                                                           2.001953125

                                                           2.000976563

                                                           2.000488281

Now that I have changed the “+1” to a “+2” I can see that the answer goes up.

When the (a) number is “+1” the number eventually rounds down, close to 1, when the (a) number is “+2” the number will eventually also round down to the (a) number which is now “2”.

I can now see quite clearly, that if the (a) number in the sequence is for example, “20” the number, when divided by two and after been passed through the sequence, the answer will be “20”.

I am now going to put my method to practice:

    6 →(+20)→(÷2)→   =     13

                                             16.5

                                             18.25                    

                                             19.125

                                             19.5625

                                             19.78125

                                            19.890623

                                            19.9453125

                                            19.97263625

                                            19.98632813

                                            19.99316406                                                                        19.99658203

                                            19.99829102

                                            19.99914551

Investigation 2 

I think that I have found a pattern in the numbering, I think that the higher the “a” number, the longer it takes to get to the final answer.eg. When the “a”number is 6, it takes only a short time to get to the final answer, but with the “a” number as 20, it takes a lot longer to get the final answer.

I will show this now:

High number 

6 →(+20)→(÷2)→   =     13                                19.99998665

                                         16.5                             19.99999333

                                         18.25                           19.77777667

125. 19.88888834
126. 19.94444417

                                         19.5625                       19.97222209

                                         19.78125                     19.98611105

                                        19.890623                    19.99305553

                                        19.9453125                  19.99652777

                                        19.97263625                19.99826389

                                        19.98632813                19.99913195

                                        19.99316406                     19.99956598                                            19.99658203                19.99978299

                                        19.99829102                19.9998915

                                        19.99914551                19.9994575

                                        19.99957276                19.99972875

                                        19.99978638                19.99986438

                                        19.99989319                19.99993219

                                        19.9999466                  19.9999661

                                        19.9999733                  19.99998305

Lower number

                 

6→(+1)→(÷2)→  =   3.5

                                   2.25  

                                   1.625  

                                   1.3125    

                                   1.15625  

                                1.078125

                                1.0390625

                                   1.01953125

                                   1.009765625

                                   1.004882813

                                   1.002441406

                                   1.001220703

                                   1.000610352

                                   1.000305176

                                   1.000152588

                                   1.000076294

                                   1.000038147

                                   1.000019074

                                   1.00009537                                

                                   1.000047685

                                   1.000023843

                                   1.000011922

                                   1.000005961

                                   1.000029805

                                   1.000014903

                                   1.000007452

                                   1.000003726

                                   1.000001863

                                   1.000000932

                                   1.000000466        

                                   1.000000233

                                   1.000000177

                                   1.000000089.

                                   1.000000045

                                   1.000000023

                                   1.000000012

                                   1.000000006

                                   1.000000003

                                   1.000000002

                                   1.000000001        

                                   1.000000001

                                   1.000000001

As you can see, when the “a” number is high, it takes a longer time to get to the final answer then when the number is lower.

When the “a”number was +1, it took only 42 attempts to get to the closest that it would get to 1, but when the “a”number was +20, after 40 attempts, it was still not even close to becoming 20. However, my analysis that the “a” number decides how long the answer takes to find could be wrong, so I am going to carry out one more investigation to certify my prediction and give me a clearer view.

Investigation 3  

 

6→ (+10)→(÷2)→  =     89                                    9.999969483

                                        9.5                                   9.999984742

                                        9.75                                 9.999992371

                                        9.875                               9.999996186

                                        9.9375                              9.999998093

                                        9.96875                            9.999999047

                                        9.984375                          9.999999524

                                        9.9921875                        9.999999762

                                        9.99609375                      9.999999881

                                        9.998046875                    9.999999941

                                        9.999023438                    9.999999971

                                        9.999511719                     9.999999986

                                        9.99975586                      9.999999995

                                        9.99987793                      9.999999997

                                        9.999938965                    9.999999999

                                                                                 10

It took 31 attempt to get to the final number, 10, but this shows me that the size of the number, does not decide how long it takes to find the final answer.

Investigation 4

I am now going to change some more numbers in the sequence, I will change the “n” number in the sequence to see if that has any relevance to the final number given.

18→(+1)→(÷2)→  =         9.5

                                           5.25

                                            3.125

                                            2.0625

                                            1.53125

                                            1.265625

                                            1.1328125

                                            1.06640625

                                            1.033203125

                                            1.016601563

                                            1.008300782

I now believe that it is not the “a” number that decides how long it takes to find the answer, but the “n” number.

I will now see how long it takes to get to the final answer when the “n “number is 1.

1→(+1)→(÷2)→  =    1

                                    1

                                    1

it takes only one attempt to find the answer in this sequence, but I will now try with 2 as the “n” number.

2→(+1)→(÷2)→  =  1.5

                                  1.25

                                  1.125

                                  1.0625

                                  1.03125

                                   1.015625

                                   1.0078125

                                   1.00390625

                                   1.001953125

                                   1.000976563

                                   1.000488282

                                   1.000244141

                                   1.000122171

                                   1.000061086

                                   1.000030543

                                   1.000015272

                                   1.000007636

                                   1.000003818

                                   1.000001909

                                   1.000000955

                                   1.000000478

                                   1.000000239

                                   1.000000165

                                   1.000000083

                                   1.000000042

                                   1.000000021

                                   1.000000011

                                   1.000000006

                                   1.000000003

                                   1.000000002

                                   1.000000001

                                   1.000000001  this is the lowest that the number will go.

It took 32 attempts to get the final answer and so this shows me that not the “n” number or the “a” number have anything to do with how long the equation takes to solve.

Now I will investigate what the “b” number has to do with the equation. I will do this by changing the number, higher and lower, looking for patterns and rhythms.

Investigation 5: Changing the “b” value

6→(+1)→(÷3)→   =   2.333333333

                                    1.111111111

                                    0.703703703

                                    0.567901234

                                    0.522633744

                                    0.507544581

                                    0.50251486

                                    0.75125743

                                    0.583752476

                                    0.791876238

                                    0.895938119

                                    0.631979373

                                    0.543993124

                                    0.514664374

As  you can see, when the “b” number has been changed, it alters the whole answer completely. There are no patterns and  the number is not heading in a pattern that I can see.

Now that I have done all my working, I think that I have found a solution.

To see if this solution works, I am going to predict something:

I predict that 6 → (+1)→ (÷5)  = 1/4

With my equation:  +x ÷y  →    x

                                                  ⎯

                                                  y-1

I predict that the number will eventually round down to 0.25              (¼).      

4. 1.2                                                                                        0.44                                                                                        0.288                                                                                0.2576                                                                                0.25152                                                                                0.250304                                                                                0.2500608                                                                                0.25001216                                                                        0.250002432                                                                        0.25000486                                                                        0.250000486                                                                        0.250000097                                                                        0.250000019                                                                        0.250000003                                                                        0.250000000 = ¼

My prediction was correct. I will now see if it works on other sequences.

I predict that

6 →(+3) → (÷2) = 3

will eventually end up at the number three:

                         4.5

3.75

3.375

3.1875

3.09375

3.046875

3.0224375

3.01171875

3.005835375

3.002917688

3.001458844

3.000729422

3.000364711

3.000182356

3.000091178

3.000045589

                

I was correct, it does eventually end up at 3.

This means that my equation works.

X→ (a) →(÷b) =   a

                             ⎯

                           (b-1)

e.g. 1→(+2)→(÷2)=

 2

⎯

2-1 =  

2

⎯

1. =

 

2

 

So, I have worked out that the final rule is +x ÷y =   x

                                                                                    ⎯

                                                                                    y-1