Vemos que los puntos tienen una tendencia a formar funciones de grado 3. Es decir, funciones cúbicas. Para ver esto mejor, procedemos a hacer un ajuste de curva en un programa graficador de matemática.
Para esto, situamos primero nuestros puntos en un cuadro de doble entrada.
Luego de copiar nuestros datos en la tabla, procedemos a hacer un ajuste de curva para ambos pares de puntos. Nuestra gráfica final que así:
II.b) Respuesta
Vemos que nuestra gráfica, tiene una de bajar hasta un punto mínimo, subir hasta un punto máximo y seguir bajando. Vemos que ambas curvas se ajustan a una función cúbica. Pero, las funciones de las curvas también podrían ser funciones de grado 4, 5, 6, etc. Para esto, utilizamos nuestro graficador.
Nuestro graficador de matemática, mediante los puntos que hemos escrito, puede graficar, lo que sería, las curvas enteras y, a la vez, darnos sus funciones. Esto se ve a continuación:
Función de la curva inferior: y = -0,0036x^4 - 0,0083x^3 + 0,3532x^2 - 0,4055x + 0,5569, función de la curva superior: y = -0,006x^4 - 0,0024x^3 + 0,6431x^2 - 1,73x + 2,41.
Vemos que la máquina, al hacer el mejor ajuste de curvas, grafica 2 curvas, cuyas funciones son de grado 4. Por lo tanto, al calcular y tratar de obtener las verdaderas funciones, se tendrá como prioridad, trabajar con funciones de grado 4.
III. Pregunta 3:
a) Halle las funciones que representan las curvas superior e inferior que forman el logotipo. b) Analice cualquier posible limitación.
III.a) Respuesta:
Como vimos antes, nuestras curvas se ajustan bien a una función de grado 4. Para proceder a calcular nuestras funciones reales, tenemos que tomar puntos. Como una función de grado 4 tiene la siguiente forma: Y=ax4±bx3±cx2±dx±e, necesitamos 5 puntos de las gráfica para poder hallar la función. Los puntos son tomados al azar, más no deben ser consecutivos. Esta vez, se tomaron los siguientes puntos:
Mediante estos puntos, procedemos a calcular las funciones para nuestras curvas. Para esto se usarán matrices. Procedemos a calcular la función para la curva inferior:
-
Procedemos a reemplazar Y en la ecuación ax4±bx3±cx2±dx±e, y con eso, también reemplazamos los valores de X en la ecuación. De esta forma nos queda lo siguiente:
0.7=a+b+c+d+e
1.0=16a+8b+4c+2d+e
4.1=625a+125b+25c+5d+e
4.4=1296a+216b+36c+6d+e
2.2=3515,3a+456,5b+59,3c+7,7d+e
Para poder resolver este sistema de ecuaciones, necesitamos matrices. Utilizamos la fórmula: Χ=A-1*B, donde A son todos los valores reemplazados por la x, B son las Ye y X son las respuestas de cada ecuación. Así tenemos:
Ahora, necesitamos calcular A-1 . Para lo siguiente, utilizamos la calculadora científica. Entramos a matrices:
Procedemos a colocar matriz de 5x5 y llenamos la matriz con los datos de A:
Luego, procedemos a colocar una matriz de 5x1 y llenamos la matriz con los datos de B:
Ahora, para poder resolver nuestras matrices, vamos a cálculo, opciones y colocamos nuestras matrices:
Resolvemos y nos quedan los siguientes resultados:
Cada resultado corresponde respectivamente a cada “x” en una ecuación del sistema de ecuaciones. Por lo tanto, nos queda la primera función como:
Y=0.00023x4-0.076x3+0.7874x2-1.522x+1.5136
Ahora, procederemos a hacer lo mismo, pero con los datos de la curva superior.
Procedemos nuevamente, a reemplazar Y en la ecuación ax4±bx3±cx2±dx±e con los datos de la curva inferior. Nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:
2.6=a+b+c+d+e
1.0=5.0625a+3.375b+2.25c+1.5d+e
1.8=39.0625a+15.625b+6.25c+2.5d+e
6.8=1296a+216b+26c+6d+e
5.3=3515.3a+456.5b+59.3c+7.7d+e
Procedemos nuevamente a utilizar la fórmula : Χ=A-1*B. Separamos los datos de A y B y nos queda lo siguiente:
Volvemos a calcular A-1. En la calculadora científica procedemos a ir a matrices y colocamos nuevamente matriz de 5x5 y matriz de 5x1
Nuevamente, procedemos a ir a cálculo, opciones y escribimos nuestras matrices:
Resolvemos y obtenemos los siguientes resultados:
Nuestra segunda función para la curva superior queda de la siguiente manera:
Y=0.061x4-1.177x3+7.4987x2-16.85x+13.069
Para poder corroborar nuestros resultados, procedemos a graficas ambas funciones para ver, si lo que hemos hecho está bien o está mal. Nuevamente, utilizamos nuestro graficador para ver si con las funciones obtenidas, se logra nuevamente el logotipo de logan. Graficamos y obtenemos lo siguiente:
Como podemos observar, no hemos obtenido nuevamente el logotipo de logan. Al parecer, la función para la curva superior, no es la correcta. Pero, al ponerle un nuevo rango a los gráficos, se vio lo siguiente:
Podemos observar que, la función de la curva inferior, pese a ser una función de grado 4, se ve como una función cúbica. En cambio, la gráfica de la curva superior si es de grado 4. Por lo tanto, al ver que la curva inferior se asemeja más al logotipo de logan siendo una función con apariencia de cúbica, trabajaremos la curva superior como función cúbica. Por lo tanto, volvemos a proceder a tomar puntos al azar. Nos queda la siguiente tabla:
Como esta vez la curva se ajustará a una función cúbica, sólo se necesitan 4 puntos, ya que la formula general para las funciones cúbicas es Y=ax3±bx2±cx±d. Nuevamente, procedemos a realizar sistema de ecuaciones:
2.6=a+b+c+d
1.8=15.625a+6.25b+2.5c+d
6.5=166.375a+30.25b+5.5+d
5.3=456.5a+59.3b+7.7c+d
Mediante la fórmula Χ=A-1*B , procederemos a calcular los resultados para nuestra función. Nuevamente, colocamos todos los valores de A separados de B:
En nuestra calculadora gráfica, cambiamos las matrices. Ya no son matriz de 5x5 y matriz de 5x1, sino matriz de 4x4 y matriz 4x1.
Luego, pasamos a cálculo y escribimos nuestras matrices nuevamente:
Por lo tanto, nuestra función queda como:
Y=-0.131x3+1.642x2-5.006x+6.095
Nuevamente, para corroborar nuestros resultados, graficamos nuestras funciones para ver si están bien o no. A continuación, las gráficas:
Como podemos observar, mediante una función cúbica para la curva superior, y una función de grado 4 para la curva inferior, logramos replicar el logotipo de logan, utilizando las funciones ya halladas.
IV. Pregunta 4
a) Logan quiere imprimir camisetas con el logotipo en la espalda. Para ello, tiene que duplicar las dimensiones del logotipo. Describa cómo han de ser modificadas sus funciones
IV.a) Respuesta
Como el mismo enunciado dice, “duplicar” es la palabra clave. Por lo tanto, los valores que puede tomar “x”, deben ser multiplicados siempre por 2. O mejor, podemos de frente multiplicar por 2 las dos funciones, y así no queda lo siguiente:
Función de la curva inferior:
Y=0.00023x4-0.076x3+0.7874x2-1.522x+1.5136
Ahora, procedemos a multiplicar cada miembro de la derecha por 2 :y nos queda la siguiente función:
Y=0.00046x4-0.152x3+1.5748x2-3.044x+3.0272
Función de la curva inferior:
Y=-0.131x3+1.642x2-5.006x+6.095
Nuevamente, procedemos a multiplicar cada miembro de la derecha por 2 y tenemos la siguiente función:
Y=-0.262x3+3.284x2-10.012x+12.19
Comprobamos que nuestro logotipo no se deshizo y que si duplico su tamaño:
Se puede observar, gracias a la escala de los ejes, que el logotipo si aumento de tamaño. Pero que a la vez, no perdió su forma.
V. Problema 5
a) Logan también quiere imprimir tarjetas de visita. Un tarjeta de visita estándar mide 9 cm por 5 cm. ¿Cómo han de modificarse sus funciones para que el logotipo ocupe todo el ancho de la tarjeta? Use algún medio tecnológico para mostrar los resultados.
V.a) Respuesta
Para este caso, tenemos que hallar una relación. El logotipo, entregado en la hoja de la carpeta de matemática de tipo 2, mide 7.7 cm x 7.3 cm. queremos cambiar sus dimensiones a uno 9 cm x 5 cm. Para esto, el largo debe se aumentado y la altura reducida.
Se tiene la proporción 95Y. Y equivale a una de las dos funciones. Por lo tanto, toda la función será multiplicada por 59, y así nos quedan las siguientes funciones:
Función de curva inferior: Y =0.00013x^4-0.042x^3+0.437x^2-0.846x+0.841
Función de curva superior: Y =-0.0723x^3+0.912x^2-2.781x+3.3861. Por lo tanto, nos queda el siguiente gráfico:
En el gráfico, como pide el enunciado, se intentó hacer máximo el largo. En el gráfico, el logotipo casi utiliza los 9 cm de largo.
VI. Pregunta 6:
a) ¿Qué fracción del área de la tarjeta ocupa el logotipo? b) ¿Por qué puede ser esto un aspecto importante en una tarjeta de visita?
VI.a) Respuesta
Para poder saber la fracción del área que ocupa, necesitamos saber el área de la tarjeta, y el área del logotipo. Para la primera área es fácil. Es un rectángulo. Por lo tanto aplicamos la fórmula de A∎=b*h. Por lo tanto, si reemplazamos, nos queda: A∎=9*5.
A∎=45 cm2
Para hallar la segunda área es un poco más complicado, ya que necesitamos utilizar integrales definidas: área debajo de dos curvas. La fórmula en este caso es: abfx-gxdx; siendo f(x) la función mayor y g(x) la función menor. “a” y “b” son los límites de integración. Ahora, procederemos a reemplazar en la fórmula con nuestras funciones. Como puntos límites tomaremos desde el (0;0) hasta el (9;0):
-
=09-0.0723x3+0.912x2-2.781x+3.3861-(0.00013x^4-0.042x^3+0.437x^2-0.846x+0.841)dx
-
=[-0.0723x44+0.912x33-2.781x22+3.3861x-0.00013x55-0.042x44+0.437x33-0.846x22+0.841x]09
-
=[-0.0723(9)44+0.912(9)33-2.781(9)22+3.3861(9)-0.00013(9)55-0.042(9)44+0.437(9)33-0.846(9)22+0.841(9)]
-
=[(-118.59+221.62-112.63+30.47)—1.535-68.89+106.19-34.26+7.57]
-
=[20.87—12.145]
- =8.73 m2
Ahora, que ya sacamos ambas áreas, hacemos una regla de 3 simple:
x=8.73*10045
x=19.4 %
Esto significa que, el logotipo ocupa un 19.4 % de toda la tarjeta. Expresado en fracción serían 975 de la tarjeta. Esto hace, que casi el 20% de la tarjeta este cubierta con el logotipo. Y, al ser una tarjeta pequeña, el logotipo se ve grande y causa una impresión en la gente que lo ve.