A continuación muestro el proceso que llevé a cabo para hacerlo:
Una vez hecho esto, hallé los valores de (X+Y)1, (X+Y)2, (X+Y)3 y (X+Y)4, para encontrar la fórmula de la expresión (X+Y)n y así luego poder relacionar las respuestas de la misma forma como lo hice en el proceso anterior.
Luego, siendo las matrices A=aX y B=bY, tomé distintos valores constantes para a y b, y hallé con la calculadora A2, A3, A4; B2, B3 y B4. De la misma forma que en los procesos anteriores, encontré una relación entre las respuestas, con lo que pude hallar la fórmula para las expresiones An y Bn.
Sea a=3
A= 3→3
A2= 32→32
A3= 33→33
A4= 34→34
Sea a=6
A=6 →6
A2= 62→62
A3= 63→63
A4=64=64
Sea a=8
A=8=8
A2=82=82
A3=83=83
A4=84=84
Sea b=3
B=3
B2=32
B3=33
B4=34
Sea b=6
B=6
B2=62
B3=63
B4=64
Sea b=8
B=8
B2=82
B3=83
B4=84
Luego, para encontrar la fórmula de (A+B)n, hallé el resultado de: (A+B)1, (A+B)2, (A+B)3 y (A+B)4, de esta manera, como lo hicimos anteriormente con (X+Y)n, poder relacionar las respuestas para deducir la fórmula que buscamos. Realicé dos procesos. En el primero empleé valores de a y b, que en ambos casos coincidían:
Sean a=3 y b=3
(A+B)1=
(A+B)2=
(A+B)3=
(A+B)4=
Sean a=6 y b=6
(A+B)1=
(A+B)2=
(A+B)3=
(A+B)4=
Sean a=8 y b=8:
(A+B)1=
(A+B)2=
(A+B)3=
(A+B)4=
En el segundo proceso no empleé valores numéricos para a y b, sino utilicé las mismas letras y obtuve los siguientes resultados:
(A+B)1=
(A+B)2=
(A+B)3=
(A+B)4=
6
Ahora, a partir de la matriz M=
-Pude comprobar que M= A+B
Aplicando la fórmula: A+B = =
-También comprobé que M2=A2+B2
Primero hallé: M2=
Aunque pude haber resuelto esta operación multiplicando MxM, no fue algo necesario pues M tiene el mismo valor que (A+B), y por lo tanto el resultado de M2 es el mismo que obtuve anteriormente al hallar (A+B)2
Dado esto procedí a resolver: A2+B2
A2= X
B2= X
A2+B2= +=
A partir de lo hallado anteriormente, en donde comprobamos que M2=A2+B2, deducimos por lo tanto que Mn=An+Bn. Gracias a esto pude obtener la siguiente proposición general:
Luego para comprobar la proposición hallada, utilicé distintos valores para reemplazar a, b y n.
Sean a=6, b=4 y n=2
(A+B)n= → (A+B)2=
A=aX= B=bY=
A+B=
(A+B)2=
Sean a=3, b=2 y n=3
(A+B)3=
A=aX= B=bY=
A+B=
(A+B)3=
Sean a=2, b=5 y n=4
(A+B)4=
A=aX= B=bY=
A+B=
(A+B)3=
Para poder saber los alcances y limitaciones de la proposición general hallada, le proporcioné a las incógnitas valores negativos y decimales. No probé con fracciones puesto que estas se pueden ser convertidas a decimales, y nos daría el mismo resultado que reemplazando con los mismos decimales.
Sean a=-2 y b=-3 y n=2
M2= -22+
Sean a=0.5, b=2.50 y n=2
M2=+
Sólo usé números naturales al reemplazar “n” debido a el exponente no puede ser una fracción, ya que no es posible sacarle raíz a una matriz. Además, este tampoco puede ser cero o un número negativo puesto a que por la misma razón explicada anteriormente, tampoco nos sería posible formar una matriz. Por lo tanto n Є . Las demás incógnitas, a y b, pueden ser reemplazadas con diversos valores, sin excepciones.
Una forma de expresar la proposición general puede ser también mediante el siguiente método algebraico:
Sabiendo que A+B=aX+bY
(A+B)2=a2x2+2abxy+b2y2=
(A+B)n=
En conclusión podemos decir que hemos encontrado una proposición general para un binomio matricial, luego de generalizar distintas fórmulas. Estas pudieron darse reemplazando las incógnitas y buscando una relación entre los resultados de las diversas operaciones. La proposición hallada muestra tener un gran alcance, limitándose a que el exponente sea necesariamente un número natural. Finalmente hemos podido usar un método algebraico, como otro modo distinto al anterior de poder explicar la forma en que esta proposición fue obtenida.