Tarea tipo I
El copo de nieve de Koch
En 1904 Helge von Koch identificó un fractal que parecía responder al modelo de un copo de nieve. El fractal se construye con un triángulo equilátero; sobre el tercio medio de cada lado se construye otro triángulo equilátero, y se repite el proceso indefinidamente. A continuación se muestra claramente el proceso con el triángulo original en la fase 0 y las figuras resultan tras una, dos y tres iteraciones.
Sea = número de lados,= longitud de un lado, =longitud del perímetro y = área del copo de nieve, en la fase n-ésima. Tomando la longitud inicial del lado igual a 1, se elaborará una tabla que muestre los valores de ,, , y para =0, 1 , 2 y 3.
A través del análisis de las iteraciones de cada fase, se partió a la obtención de los datos con el fin de tabularlos para un mejor análisis, empero primero se debe conocer el concepto de fractal para poder comprender las imágenes y poder obtener resultados.
Se realizo el análisis y la obtención de datos por medio de la obtención y desarrollo de formulas, al crear diferentes modelos, en el caso de , se creo el modelo N= n*4 , esto es porque cada iteración el numero de lados se ve cuadriplicado respectivamente, es por ello que a través de diferentes modelos se llego a resultados. La siguiente tabla muestra un resumen de los resultados de el número de lados, la longitud del lado, el perímetro y área del copo de nieve para =0, 1 , 2 y 3.
Tabla 1. Valores para el número de lados, longitud de un lado, perímetro y área para n=0, 1, 2 y 3
En el caso de la obtención del número de lados o , es menester mencionar que se empezó con el análisis de la iteración 0 que nos muestra un triangulo equilátero, el cual se compone por 3 lados con valor de 1 en su longitud.
Se observa cada iteración que el número de lados se ve cuadriplicado en cada fase; esto es porque con cada iteración se remplaza la tercera parte del triángulo con otro triángulo en la misma posición en la cual fue eliminado. Gracias a esto, podemos afirmar que con cada iteración el se ve afectado en un cuádruplo. Esto se ejemplifica de la siguiente manera: tenemos que en la primera iteración, en la fase cero se empieza por un triangulo, por lo tanto consta de 3 lados, esto se expresa de la siguiente manera. Para resolver la 2da iteración, tenemos que partir tomando la primera iteración, por lo tanto obtenemos lo siguiente:
y así sucede con las otras fases:
En cuanto a (Longitud de cada lado), se nos afirma que el valor de cada lado en la fase 0 es de 1. Al analizar los copos vemos que con cada iteración, se disminuye la longitud de cada lado en , por lo tanto , cada iteración es reflejo de una repetición en disminución de cada lado es por consecuente que obtenemos lo siguiente:
Con esto se observa la afirmación anterior de la disminución de la longitud de cada lado respectivamente al avance de cada iteración por un valor de .
En cuestión del perímetro, se maneja una lógica semejante, ya que el perímetro es la suma de la longitud de todos los lados, por lo tanto será directamente proporcional al cambio en cada iteración, pero para la obtención del perímetro fue necesario obtener el siguiente modelo, se observa un incremento de por cada iteración :
-
-
-
Para la obtención de fue necesario la creación de un modelo, a partir del cual se pudiera encontrar el área de cualquier iteración, para esto se utilizo la fórmula del área del triangulo equilátero y se sustituyo con el teorema de Pitágoras, por el cual se llego a la afirmación que con cada iteración el área aumentaba en un , y de este resultado se partió para la creación del siguiente modelo, que sirve para sacar el área de la n-ésima iteración:
Por ejemplo en el caso de se desarrollo de la siguiente manera:
√
A continuación se muestran la gráfica de = número de lados, para =0, 1 , 2 y 3.
Grafica 1. Numero de lados de las fases n= 0, 1, 2 y 3.
A través del desarrollo de la necesidad de obtener el numero de lados de la n-ésima iteración, surgió la necesidad de crear un modelo el cual cumpliera con las expectativas de ofrecernos el numero de Lados, en cualquier fase es a partir del análisis de los resultados que se llego al siguiente modelo, el cual se obtuvo al encontrar la relación de que con cada iteración, el numero de lados aumentaba 4 veces su valor:
Mediante el cual se obtuvieron los siguientes resultados al sustituir n con los valores 0,1,2 y 3 respectivamente al número de fase deseada.
Al comparar estos resultados con los de la Tabla 1 (Valores para el número de lados, longitud de un lado, perímetro y área para n=0, 1, 2 y 3”), vemos que son los mismos valores.
A continuación se muestran la gráfica = longitud de un lado, para =0, 1 , 2 y 3.
Grafica 2. Longitud de los lados en las fases n= 0, 1, 2 y 3.
Con el análisis de cada fase pudimos llegar a la conclusión de que cada iteración, la longitud de cada lado se vea reducida en , a partir de esto se s multiplico el valor de la fase anterior por , para obtener el valor de la longitud de lado de la siguiente fase, gracias a la implementación de este sistema y a la necesidad de crear un modelo matemático que nos proporcione la longitud de cada lado, surgió el siguiente modelo, que cómo antes mencione se toma la variación de y se eleva a la n-ésima que será sustituida por el numero de fase:
Con la implementación de este modelo se obtuvieron los siguientes resultados:
Lo que concuerda con los datos de la Tabla 1.
A continuación se muestran la gráfica de =longitud del perímetro, para =0, 1 , 2 y 3.
Grafica 3. Muestra el perímetro de las fases n= 0, 1, 2 y 3.
Para la obtención del perímetro se creó un sistema el cual consta en multiplicar ; empero como en los casos anteriores fue necesario la creación de un modelo matemático para la obtención del perímetro en cualquiera iteración, con el primer sistema surgió que con cada iteración el perímetro aumentaba , y conociendo que la fase inicial tenía 3 lados fue como a partir de un desarrollo surgió el siguiente modelo matemático :
Con la aplicación de este modelo obtuvimos los siguientes resultados:
Que al comparar los resultados con la tabla inicial obtuvimos los mismos valores , por lo tanto el modelo es válido.
A continuación se muestran la gráfica de = área del copo de nieve, para =0, 1 , 2 y 3.
Grafica 4. Área de las fases n= 0, 1, 2 y 3.
Fue necesario la creación de un modelo matemático que a partir de este pudiéramos encontrar el área de cualquier iteración en cualquier fase para ello se tomo, la formula fundamental del área del triangulo equilátero y a través de un despeje matemático, se creó un modelo en la sustitución del teorema de Pitágoras y la formula del Área del triangulo.
Para la obtención del mismo se siguió el siguiente proceso:
Mediante este modelo se obtuvieron los valores de las áreas de cada fase que se representan a continuación:
√ Para encontrar los valores de ,, , y para =4 se utilizaron los modelos matemáticos respectivamente para la obtención de los siguientes resultados :
Diagrama 1. (Un lado de la Fase 4)
Tabla 2. Fase 4
Para encontrar los valores de ,, , y para =4 se utilizaron los modelos matemáticos respectivamente para la obtención de los siguientes resultados :
Tabla 3. Fase 6
A través del modelo del Área propuesto con anterioridad se buscara las sucesiones a partir de :
√
Con el desarrollo del presente trabajo he podido concluir que las iteraciones cuentan con un área finita, sin embargo un perímetro infinito, el área será proporcional, pero de acuerdo a los copos de Koch los fractales son repeticiones infinitas, por lo tanto resulta que cuando el área tiende a ser infinita y se reflejara en el siguiente modelo matemático:
√
