Figure 4 shows that ten parallelograms are formed if a further transversal is added to figure 3. These parallelograms are: A1, A2, A3, A4, A1 ∪ A2, A2 ∪ A3, A3 ∪ A4, A1 ∪ A2 ∪ A3, A2 ∪ A3 ∪ A4 and A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4.
A1 A2 A3 A4
Figure 4
By looking at Figure 5 we can see that 15 parallelograms are formed if the diagram has 6 transversals: The 15 parallelograms are:
A1, A2, A3, A4, A5,
A1 ∪ A2, A2 ∪ A3, A3 ∪ A4, A4 ∪ A5,
A1 ∪ A2 ∪ A3, A2 ∪ A3 ∪ A4, A3 ∪ A4 ∪ A5,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4, A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 and
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5.
A1 A2 A3 A4 A5
Figure 5
At 7th transversal is added to the diagram as shown in Figure 5. 21 Parallelograms are formed:
A1, A2, A3, A4, A5, A6,
A1 ∪ A2, A2 ∪ A3, A3 ∪ A4, A4 ∪ A5, A5 ∪ A6,
A1 ∪ A2 ∪ A3, A2 ∪ A3 ∪ A4, A3 ∪ A4 ∪ A5, A4 ∪ A5 ∪ A6,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4, A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5, A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5, A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 and A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6.
A1 A2 A3 A4 A5 A6
Figure 6
Task 3: Next consider the number of parallelograms formed by three horizontal parallel lines intersected by parallel transversals. Develop and test another general statement for this case.
+1
+ 2
+3
+ 4
+5
+6
Figure 7
Legend to Figure 7:
Figure 7 shows that there must always be added 1 to the previous term in order to find out the new term . Because the gaps between the numbers are always one smaller than n, it was found out that the formula must include . In order to find out must be added to , which is one smaller than.
Figure 8
Legend to Figure 8:
Note that if we define as the set of all parallelograms that can be formed using six traversals and one parallelogram and as the set of all parallelograms that can be formed using seven traversals, the following is the case:
One can derive the following general formula for the set of all fields which can be formed using two horizontal lines and transversals:
The number of elements in which will be called can be expressed as follows:
This can be simplified:
The general statement therefore is . is called the nth term or the general term of the sequence.
In order to find a relationship between the number of transversals and the number of parallelograms I used the computer programme Windows Office Excel 2007 and proved my general statement like shown in Figure 9 and Figure 10.
Figure 9
Legend to Figure 9:
Figure 10
To test the validity of the general statement it can be shown what happens if we have 9 transversals. By using the general term formula we would get 36 parallelograms:
General term:
Number of transversals
Therefore:
To back up the general statement Figure 11shows the 36 parallelograms:
A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8,
A1 ∪ A2, A2 ∪ A3, A3 ∪ A4, A4 ∪ A5, A5 ∪ A6, A6 ∪ A7, A7 ∪ A8,
A1 ∪ A2 ∪ A3, A2 ∪ A3 ∪ A4, A3 ∪ A4 ∪ A5, A4 ∪ A5 ∪ A6 , A5 ∪ A6 ∪ A7 , A6 ∪ A7 ∪ A8 ,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4, A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5, A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 , A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 , A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5, A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6, A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7, A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6, A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7, A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7, A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 and
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8.
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
Figure 11
To verify the general statement Figure 12 illustrates how many parallelograms are formed if we have 11 transversals and a pair of horizontal lines.
General term:
Number of transversals n = 11
Therefore:
The so formed parallelograms are: A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10,
A1 ∪ A2, A2 ∪ A3, A3 ∪ A4, A4 ∪ A5, A5 ∪ A6, A6 ∪ A7, A7 ∪ A8, A8 ∪ A9, A9 ∪ A10,
A1 ∪ A2 ∪ A3, A2 ∪ A3 ∪ A4, A3 ∪ A4 ∪ A5, A4 ∪ A5 ∪ A6 , A5 ∪ A6 ∪ A7 , A6 ∪ A7 ∪ A8 , A7 ∪ A8 ∪ A9, A8 ∪ A9 ∪ A10,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4, A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5, A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 , A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 , A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 , A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9 , A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10 ,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5, A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6, A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7, A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8, A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9, A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6, A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7, A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8, A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9, A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7, A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8, A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9, A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8, A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9, A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9, A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10 and
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10.
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
Figure 12
Figure 13 below shows 3 horizontal parallel lines and a pair of parallel transversals. Three parallelograms are formed: A1, A2 and A1 ∪ A2.
A1
A2
Figure 13
If a third parallel transversal is added to the diagram as shown in Figure 13, nine
parallelograms are formed. These parallelograms are:
A1, A2, A3, A4,
A1 ∪ A2, A3 ∪ A4, A1 ∪ A3, A2 ∪ A4 and
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4
A1 A3
A2 A4
Figure 14
A further transversal is added to Figure 14. Now we have four transversals and nine parallelograms are created. The nine parallelograms are:
A1, A2, A3, A4, A5, A6,
A1 ∪ A2, A3 ∪ A4, A5 ∪ A6, A1 ∪ A3, A3 ∪ A5, A2 ∪ A4, A4 ∪ A6,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4, A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 and
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6.
A1 A3 A5
A2 A4 A6
Figure 15
If we have five transversals 30 parallelograms are formed like shown in Figure 16. They are:
A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8,
A1 ∪ A2, A3 ∪ A4, A5 ∪ A6, A7 ∪ A8, A1 ∪ A3, A3 ∪ A5, A5 ∪ A7, A2 ∪ A4, A4 ∪ A6, A6 ∪ A8,
A1 ∪ A3 ∪ A5, A3 ∪ A5 ∪ A7, A2 ∪ A4 ∪ A6, A4 ∪ A6 ∪ A8,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4, A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6, A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8, A1 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7, A2 ∪ A4 ∪ A6 ∪ A8,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6, A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 and
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8.
A1 A3 A5 A7
A2 A4 A6 A8
Figure 16
If we have six transversals 45 parallelograms are formed like shown in Figure 17. They are:
A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10,
A1 ∪ A2, A3 ∪ A4, A5 ∪ A6, A7 ∪ A8, A9 ∪ A10, A1 ∪ A3, A3 ∪ A5, A5 ∪ A7, A7 ∪ A9, A2 ∪ A4, A4 ∪ A6, A6 ∪ A8, A8 ∪ A10,
A1 ∪ A3 ∪ A5, A3 ∪ A5 ∪ A7, A5 ∪ A7 ∪ A9, A2 ∪ A4 ∪ A6, A4 ∪ A6 ∪ A8, A6 ∪ A8 ∪ A10,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4, A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6, A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8, A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10,
A1 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7, A3 ∪ A5 ∪ A7 ∪ A9, A2 ∪ A4 ∪ A6 ∪ A8, A4 ∪ A6 ∪ A8 ∪ A10,
A1 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7 ∪ A9, A2 ∪ A4 ∪ A6 ∪ A8 ∪ A10,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6, A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8, A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8, A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10 and A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10.
A1 A3 A5 A7 A9
A2 A4 A6 A8 A10
Figure 17
If we have six transversals 63 parallelograms are formed like shown in Figure 18. They are:
A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A11, A12,
A1 ∪ A2, A3 ∪ A4, A5 ∪ A6, A7 ∪ A8, A9 ∪ A10, A11 ∪ A12, A1 ∪ A3, A3 ∪ A5, A5 ∪ A7, A7 ∪ A9, A9 ∪ A11, A2 ∪ A4, A4 ∪ A6, A6 ∪ A8, A8 ∪ A10, A10 ∪ A12,
A1 ∪ A3 ∪ A5, A3 ∪ A5 ∪ A7, A5 ∪ A7 ∪ A9, A7 ∪ A9 ∪ A11, A2 ∪ A4 ∪ A6, A4 ∪ A6 ∪ A8, A6 ∪ A8 ∪ A10, A8 ∪ A10 ∪ A12,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4, A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6, A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8, A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10, A9 ∪ A10 ∪ A11 ∪ A12,A1 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7, A3 ∪ A5 ∪ A7 ∪ A9, A5 ∪ A7 ∪ A9 ∪ A11, A2 ∪ A4 ∪ A6 ∪ A8, A4 ∪ A6 ∪ A8 ∪ A10, A6 ∪ A8 ∪ A10 ∪ A12,
A1 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7 ∪ A9, A3 ∪ A5 ∪ A7 ∪ A9 ∪ A11, A2 ∪ A4 ∪ A6 ∪ A8 ∪ A10, A4 ∪ A6 ∪ A8 ∪ A10 ∪ A12,
A1 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7 ∪ A9 ∪ A11, A2 ∪ A4 ∪ A6 ∪ A8 ∪ A10 ∪ A12, A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6, A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8, A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10, A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10 ∪ A11∪ A12,
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8, A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10, A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10 ∪ A11 ∪ A12, A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10, A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10 ∪ A11 ∪ A12 and A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10 ∪ A11 ∪ A12.
A1 A3 A5 A7 A9 A11
A2 A4 A6 A8 A10 A12
Figure 18
+3
+6
+9
+12
+15
+18
Figure 19
Legend to Figure 19:
By looking at Figure 16 I realized that there are always gaps by 3 in order to get the next : 3,6,9,12,15,18...
All these gaps are always three times bigger than n. Therefore:
In order to find out we have to add to . This is called a dependent variable because we have to know to be able to work out .
To get the new general statement for the number of parallelograms formed by three horizontal parallel lines intersected by parallel transversals I used the statement developed for the relationship between the number of transversals and the number of parallelograms and multiplied it by 3 becasue we have got three horizontals.
Now we have .
To test my general statement for the number of parallelograms formed by three horizontal parallel lines intersected by parallel transversals I give two examples:
Example 1:
General statement:
Number of transversals:
Figure 16 underlines that my example is right.
Example 2:
General statement:
Number of transversals:
Looking at Figure 18 the correctness of example 2 can be seen.
Task 4: Now extend your results to m horizontal parallel lines intersected by n parallel transversals.
The number of parallelograms visible, when horizontals and transversals are intersected, can be determined considering the following:
The overall sum of parallelograms is equal to the sum of the number of parallelograms for of all possible sizes. The maximum size of a parallelogram is .
My Example Figure 20 examines the case that there are five vertical and four horizontal lines:
Figure 20
The example shows that the number of parallelograms () of a certain size can be determined using the following rule:
If one adds all is obtained:
To verify my general statement I’ll show how it works by using two examples.
Example 3:
General statement:
Number of transversals:
Number of horizontal lines: h
Figure 17 also verifies that my statement works.
Example 4:
General statement:
Number of transversals:
Number of horizontal lines: h2
Figure 4 underlines the correctness of my general statement.
Scope and Limitations:
By looking at all my work I made some observations in order to find out the scope and limitations:
- We cannot have negative numbers.
- There are no negative transversals or horizontals .
- There are no transversals or horizontals with a fraction.
Figure 21
Figure 21 shows the graph I have plotted in order to visualize the general statement and its limitations.
The following sheet (Figure 22) shows a part of the the table I have used to plot the graph.
