s/θ = (1+g*)(1+n) – (1-δ),
donde ahora g* es la tasa de crecimiento per cápita.
Esta expresión combina algunos de los aspectos fundamentales que subyacen al crecimiento: la capacidad para ahorrar e invertir (recogida por s), la capacidad para convertir el capital en producción (que depende inversamente de θ), la tasa a la que se deprecia el capital (δ), y, por último, la tasa de crecimiento de la población (n). Esta nueva ecuación parece algo complicada; existe una aproximación con la que es mucho mas fácil realizar rapidas estimaciones. Para verlo se expande el segundo miembro de la ecuación y obtenemos s/θ = g*+n+δ-g*n. Ahora bien, tanto el valor de g* como el de n son bajos, por lo que su producto es muy pequeño en relacion con los demás términos y puede dejarse de lado como aproximación. De esa manera tenemos la siguiente ecuación aproximada:
s/θ = g*+n+δ-g*n
4. ¿Por qué se considera el modelo de Harrod-Domar una variación del modelo de Solow? Ilustrar con un ejemplo.
El giro que imprimió Solow al modelo Harrod-Domar se basa en la ley de los rendimientos decrecientes de los factores de producción. El capital y el trabajo generan conjuntamente el producto. Si hay mucho trabajo en relación con el capital, un poco más de capital cundirá mucho. En cambio, si hay escasez de trabajo, en el margen se utilizaran métodos intensivos en capital aumentando la relación marginal capital-producto. Según Solow, la relación capital-producto θ es endógena; en particular, θ podría depender de las dotaciones relativas de capital y trabajo de la economía.
La validez relativa de los modelos de Harrod-Domar y de Solow puede verificarse empíricamente y las predicciones teóricas son muy diferentes. En concreto, según el modelo de Solow, algunos parámetros como la tasa de ahorro solo producen efectos en el nivel, a diferencia del modelo de Harrod-Domar en el que producen efectos en el crecimiento. De hecho, en la versión básica del modelo de Solow, hay un nivel de renta per capital del estado estacionario al que la economía debe converger, independientemente de su punto de partida histórico. Y lo que es más espectacular, el modelo de Solow deduce que independientemente del stock de capital per cápita inicial, dos países que tengan parecidas tasas de ahorro, de depreciación y de crecimiento demográfico convergerán en unos niveles de vida similares a largo plazo.
5. ¿Qué propiedades tiene la Función de Producción de Solow (1956)?
Tal y como Mankiw explica, la oferta y la demanda de bienes desempeñan un papel fundamental en el modelo de Solow; la oferta de bienes determina la cantidad de producción que se obtiene en un determinado momento, mientras que la demanda determina la asignación de esta producción a los distintos fines posibles.
En este modelo, la oferta de bienes se basa en la siguiente función de producción:
Y/L = F(K,L)
La producción depende del stock de capital y de la población activa. El modelo de crecimiento de Solow supone que la función de producción tiene rendimientos constantes de escala; para que esto sea así, se debe cumplir que
zY = F(zK,zL)
para cualquier valor positivo de z. Así, las funciones de producción que tienen rendimientos constantes de escala tendrán la ventaja de que la producción por trabajador solo depende de la cantidad de capital por trabajador. Para ver que esto es asi, se iguala z a 1/L en la ecuación anterior para obtener:
Y/L = F(K/L)
Esta ecuación muestra que la producción por trabajador, Y/L, es una función del capital por trabajador, K/L. Basándonos en el análisis que Mankiw realiza para esta función de producción, proponemos que y = Y/L (producción por trabajador) y que k = K/L (capital por trabajador). De esta manera, tenemos la siguiente función de producción:
y = f(k),
donde definimos f(k) = F(k,1). Así pues, la pendiente de esta función de producción indica cuanta producción adicional por trabajador se obtiene con una unidad adicional de capital por trabajador. Esta cantidad es el producto marginal del capital, PMK:
PMK = f(k+1) – f(k)
El producto marginal del capital es decreciente; cada unidad adicional de capital genera menos producción que la anterior. Cuando hay poco capital, una unidad adicional es muy útil y genera mucha producción adicional. Cuando hay mucho capital, una unidad adicional es menos útil y genera menos producción adicional.
Existe otra propiedad que Mankiw no considera, ésta concierne a las llamadas condiciones de Inada; las cuales implican que la productividad marginal del capital tendera a aproximarse a valores cercanos a cero cuando el capital tiende al infinito, mientras que a productividad marginal del capital tendera a aproximarse a valores cercanos al infinito conforme el capital tiende a cero.
6. ¿En que consiste el excedente de Solow?
El excedente de Solow, en palabras de Mankiw, consiste en el “crecimiento de la productividad total de los factores, expresado como la variación porcentual de la producción menos la variación porcentual de los factores, ponderando éstos por su participación.”
7. Con la Función de Producción Cobb-Douglas, obtener la 1ª. , y 2ª. Derivadas, respecto de K y L.
Paul Douglas observaba en 1927, cuando aún era profesor de economía, que la distribución de la renta nacional entre el capital y el trabajo se había mantenido más o mendos constante durante un largo periodo; lo cual, le llevaría a preguntarse que condiciones hacían que las participaciones de los factores fueran constantes. Así pues, Douglas acudió a Charles Cobb, matemático, si existía una función de producción que produjera funciones constantes de los factores si estos siempre ganaban su producto marginal. La función de producción necesitaría tener la propiedad de que
Renta del capital = PMK x K = αY,
y
Renta del trabajo = PML x L = (1-α)Y,
Donde α es una constante que asume valores entre cero y uno para medir la participación del capital en la renta. Cobb demostraba que la función que tenía esa propiedad era:
Y = F(K,L) = AKαL1-α
Donde A es un parámetro mayor que cero que mide la productividad de la tecnología existente. Esta es la famosa función de producción Cobb-Douglas. Al obtener la primera derivada de esta función, respecto de K y L, obtendremos sucesivamente los productos marginales del capital y el trabajo:
δY / δK = α AKα-1L1-α ; “Productividad marginal del capital”
δY / δL =(1- α) AKαL-α ; “Productividad marginal del trabajo”
Debemos destacar que los valores que asuman tanto la productividad marginal del capital como del trabajo serán positivos.
Por otra parte; al obtener las segundas derivadas tendremos:
δ2Y / δK2 = α(α-1)AKα-2L1-α
δ2Y / δL2 =(1- α)(-α) AKαL-α-1
Debemos destacar que los valores que asuman estas segundas derivadas serán negativos, lo que nos habla de que los productos marginales siguen una tendencia decreciente.
8. ¿En qué consistió la descomposición de Solow (1957)? ¿Por qué se considera una solución exógena?
La descomposición de Solow(1957) es un tema que ha quedado un poco olvidado en los estudios contemporáneos de las teorías del crecimiento, sin embargo; debemos destacar que es de gran trascendencia. Esta descomposición considera la misma función de producción con rendimientos constantes a escala original del modelo de Solow, pero añade un nuevo supuesto: el comportamiento perfectamente competitivo de las empresas.
Con estos supuestos, Solow llega a la conclusión de que la parte de crecimiento de la producción no explicada por el crecimiento de los inputs, es decir, la productividad global de los factores, se obtiene como un residuo que suele interpretarse en términos de una tasa exógena de progreso técnico.
9. Obtener la Ecuación de Acumulación de Solow:
a) en términos funcionales
Aniel Altamirano, partiendo de la idea de que el producto final de la economía se distribuye entre consumo e inversión, nos presenta la ecuación de acumulación de Solow en términos funcionales de la siguiente forma:
Así pues, Altamirano destaca los siguientes supuestos adicionales para la función de Solow:
- Tasa de ahorro constante: Si las familias productoras producen Y, se tiene que ahorrar una fracción constante s y consumir el resto (1-s). De este supuesto se deriva la idea de que la inversión y el consumo agregados son una fracción del ingreso nacional; por ende, la tasa de ahorro será igual a la tasa de inversión.
- Tasa de depreciación constante: La inversión sirve tanto para aumentar el acervo de maquinaria disponible para una futura producción o bien, para reemplazar las maquinas que se deterioran en el proceso productivo. Utilizando términos de la contabilidad nacional, tenemos que la inversión bruta o cantidad de insumos adquiridos por las empresas, es igual a la inversión neta o al aumento neto en el acervo de capital, más la depreciación, la cual será constante.
- Población igual a trabajo y tasa constante de crecimiento de la población: Se considera que la población de la economía es equivalente a la cantidad de trabajadores, supuesto no muy realista al considerar que existen muchos habitantes en todas las economías que no trabajan en la producción del PIB. El crecimiento de la población será a una tasa constante, lo que permite considerar que la tasa de variación del capital por trabajador es igual a una fracción constante del producto por trabajador.
- Nivel tecnológico constante: Este supuesto se aborda en el siguiente inciso.
b) con la F.P. Cobb- Douglas
Como el objetivo es analizar el papel de la inversion en el capital como determinante de la tasa de crecimiento económico, será útil prescindir de todas las fuentes alternativas de crecimiento potencial, como el progreso tecnológico. Si el objetivo es ver si se puede crecer para siempre simplemente invirtiendo una fracción constante de la producción, será útil suponer que la tecnología no cambia; lo cual se expresa así:
At=A
donde A es una constante, y sustituyendo la expresión de la tecnología en la ecuación del acervo de capital o ecuación fundamental de Solow, tenemos que:
Si la tecnología es una función de producción Cobb-Douglas, entonces la ecuación fundamental de Solow es:
c) con progreso técnico
Altamirano realiza un análisis del modelo de Solow incluyendo el conocimiento técnico, A, en la función de producción agregada; para ello, destaca que existen tres posibilidades de introducir la tecnología en la función de producción:
- Una tecnología aumentadora del capital o neutra en el sentido de Solow, es decir, F(A,K,L)
- Introducir la tecnología como un parámetro que multiplica la función de producción: AF(K,L), que se conoce como tecnología neutral de Hicks.
- Introduciendo la tecnología como factor que incrementa el trabajo (neutral en el sentido de Harrod); es decir F(K,AL).
Altamirano, para elaborar su explicación, elige la formulación de la función de producción en el sentido de Harrod, de forma que una unidad de trabajo es más efectiva cuando el nivel de tecnología es más alto. Suponiendo que la función de producción agregada, Y=F(K,AL) presenta rendimientos constantes a escala:
F(λK,λAL)=λF(K,AL)= λY
Aprovechando esta propiedad, podemos expresarla de forma intensiva, tomando λ igual a la inversa de AL:
donde y son, respectivamente, la producción y el capital por unidad de trabajo efectivo.
Tomando los valores iniciales del capital, del trabajo y del conocimiento técnico, K(0), L(0) y A(0), suponemos que el factor trabajo y el progreso técnico crecen a tasas respectivas constantes de n y g. Altamirano rescata que un supuesto importante en esta formulación del modelo de Solow ampliado, es que el progreso tecnológico es exógeno y crece a una tasa constante. Es decir, suponemos que la ley que gobierna la evolución de la tecnología en el tiempo, está dada por:
Si denotamos con A a la derivada , podemos reescribir la expresión anterior como:
. Dado el supuesto de partida se tiene que es igual a . La producción se destina al consumo y al ahorro, siendo este último una fracción constante del producto; el capital existente se deprecia con el uso a la tasa δ. Asi, la ley dinámica de la acumulación del capital con , con una tasa de depreciación δ del capital, la ley de la acumulación del capital en el modelo de Solow ampliado es:
(VAR)K=sY-δK
10. ¿Cómo se obtienen los valores de equilibrio de y*, c*, k* ?
Aniel Altamirano, al realizar un análisis del estado estacionario del modelo básico de crecimiento de Solow, destaca que éste consiste en aquella situación en donde las variables relevantes crecen a tasas constantes. Si nos basamos en la ecuación de acumulación de Solow, tendremos que el estado estacionario se alcanza cuando el crecimiento del capital sea igual a cero; así, el nivel de estado estacionario k* es el nivel donde la inversión iguala a la depreciación, indicando que el monto de capital no cambiará en el tiempo. La conclusión a la que llega Solow del análisis de su estado estacionario consiste en que si en el estado estacionario k es constante, lo será también el producto por trabajador, y, y el consumo por trabajador, c, para los valores y*=f(k*) y c*=(1-s)f(k*), respectivamente. La constancia de las magnitudes por trabajador implica que los niveles de las variable K, Y y C, crecen en el estado estacionario a la tasa de crecimiento de la población, n.
11. De acuerdo con el ejemplo de Mankiw; calcular el ejercicio de Solow para los valores: k = 4, y = k^(1/2), s = 0.36, -dk = 0.12
12. Completar el esquema
13. La regla de oro Phelps; ¿Qué significa? y ¿Cómo se obtiene gráficamente?
La regla de oro de Phelps consiste en aquella tasa de ahorro que, en el modelo de crecimiento de Solow, lleva al estado estacionario en el que se maximiza el consumo por trabajador (o el consumo por unidad eficiente de trabajo). En otras palabras, la llamada regla de oro de la acumulación de capital indica que existe una tasa de ahorro que permite a la economía seguir una senda en la cual el consumo per cápita y el total sean máximos. Gráficamente, la regla de oro de Phelps se alcanza cuando el acervo de capital para el cual el consumo será máximo en una tasa de crecimiento equilibrado, será aquel para el cual la pendiente de la función de producción coincida con la pendiente de la inversión de sostenimiento.
14. ¿Qué pasa con la gráfica ante cambios en (s) y (n)? ¿Qué significado tienen?
Primero verificaremos que ocurre con una economía cuando aumenta la tasa de ahorro (s). Supongamos que la economía comienza encontrándose en un estado estacionario en el que la tasa de ahorro es s1 y el stock de capital es k1*. A continuación, aumenta la tasa de ahorro de s1 a s2, lo que provoca un desplazamiento ascendente de la curva sf(k). A la tasa inicial de ahorro, s1, y el stock inicial de capital, k1*, la cantidad de inversión contrarresta simplemente la cantidad de depreciación. Cuando aumenta la tasa de ahorro, la inversión es mayor, pero el stock de capital y la depreciación no varían. Por consiguiente, la inversión es superior a la depreciación. El stock de capital aumenta gradualmente hasta que la economía alcanza el nuevo estado estacionario k2*, que tiene un stock de capital mayor y un nivel de producción más alto que el estado estacionario inicial.
El modelo de Solow muestra que la tasa de ahorro es un determinante clave del stock de capital existente en el estado estacionario. Si es elevada, la economía tiene un gran stock de capital y un elevado nivel de producción. Si es baja, la economía tiene un pequeño stock de capital y un bajo nivel de producción.
Ahora, verificaremos como afecta el crecimiento de la población al estado estacionario. Supongamos que un aumento de la tasa de crecimiento de la población de n1 a n2 reduce el nivel de capital por trabajador del estado estacionario de k1* a k2*. Como k* es menor que y como y*=f(k*), el nivel de producción por trabajador, y*, también es menor. Por lo tanto, el modelo de Solow predice que los países cuya población crece más tienen niveles más bajos de PIB per cápita.
En el estado estacionario de la regla de oro, el producto marginal del capital, una vez descontada la depreciación, es igual a la tasa de crecimiento de la población.
2ª. Parte
15. ¿Cuáles son las principales críticas al Modelo Neoclásico Básico Solow (Swan)? ¿De qué naturaleza son?
El modelo neoclásico o de Solow, ha sido criticado en varios e importantes puntos. Estas críticas, según Barbera y Doncel, pueden agruparse en tres tipos: metodológicas, teóricas y de carácter empírico.
Las críticas metodológicas vinieron principalmente de la denominada Escuela de Cambridge, quienes atacaron el irrealismo de los supuestos en los que se apoyaba el modelo desarrollado por Solow. Las criticas de carácter teórico que, siguiendo a Mankiw, se le pueden plantear al modelo de crecimiento de Solow-Swan en ningún caso son concluyentes.
Al modelo neoclásico se le puede criticar que no aporta una explicación clara del crecimiento económico en las economías. Esto es debido a que el crecimiento económico en este modelo, únicamente es posible como consecuencia de la existencia de un progreso tecnológico exógeno. Mankiw justifica esta limitación puesto que Solow pretende mostrar por que una economía presenta un nivel superior en la actualidad que hace, por ejemplo, un siglo, pero no justifica porque existe el crecimiento económico. En este sentido, el modelo sin ningún tipo de ambigüedad que los niveles de vida de los países se han elevado a lo largo del tiempo.
Una segunda crítica está relacionada con las distintas tasas de crecimiento que presentan los diferentes países y en diferentes momentos del tiempo, puesto que el modelo muestra que la tasa de crecimiento es exógena y constante. Mankiw señala que esto no es un problema puesto que el modelo predice diferentes estados estacionarios para los diferentes países dependiendo de cual sea la tasa de ahorro y la tasa de crecimiento de la población. Además, el modelo también muestra diferentes tasas de crecimiento en función de lo próxima o alejada que se encuentre la economía de su estado estacionario.
La tercera crítica de carácter teórico consiste en cuestionar que la función de producción sea la misma para los diferentes países. Parece absurdo suponer que los países ricos tienen la misma función de producción que los pobres. Sin embargo, Mankiw indica que no debe interpretarse la función de producción como una forma específica de proceso productivo, sino que únicamente se pretende indicar que los factores productivos son lo mismo y que el producto obtenido también es el mismo. En este sentido, al tener los diferentes países diferentes niveles de factores productivos no es estrictamente necesario que empleen el mismo proceso productivo. Por tanto, cuando en una economía se aumenta alguno de los factores productivos no significa que cambie la función de producción, sino que hay un desplazamiento a lo largo de la misma función de producción.
Las críticas más importantes recibidas por la teoría del crecimiento neoclásico vienen desde el análisis empírico. Siguiendo a Mankiw se pueden destacar tres razones que cuestionan el modelo. La primera consiste en indicar que la teoría del crecimiento neoclásica permite explicar las importantes diferencias en la renta existentes entre los distintos países, de modo que la distancia existente en cuanto a los niveles de vida es muy superior a la que se desprendería del modelo neoclásico. Mankiw señala que estas diferencias observadas entre los países ricos y pobres inicialmente se podría justificar por el supuesto de una misma función de producción, puesto que los países pobres tendrían tasas más bajas de ahorro y más altas de crecimiento de la población. Sin embargo, las diferencias son tan importantes que con esta justificación quedaría una gran parte de esa diferencia sin explicar. Por tanto, si se intenta culpar a la función de producción, debe hacerse suponiendo que la tecnología empleada por los países pobres es muy inferior a la empleada por los países ricos. De este modo, aparece un fuerte incentivo a imitar la tecnología de los países ricos, aunque en muchos casos esto es complicado al necesitarse un tipo de trabajo cualificado que no suele estar presente en los países pobres. En consecuencia, aunque se podría dejar la explicación con estas diferencias en las funciones de producción, se observa que surge un elemento importante que es el capital humano.
La segunda crítica está relacionada con la convergencia, es decir, la presencia de tasas de crecimiento más altas en los países pobres que en los ricos. El tema de convergencia ha sido y es un asunto de gran debate; existen dos formas de interpretar la convergencia, una consiste en considerar que todos los países presentan el mismo estado estacionario y, únicamente, difieren en sus condiciones iniciales, es lo que se denomina convergencia absoluta, y la otra se produce cuando cada país tiene su propio estado estacionario al presentar tasas de ahorro y de crecimiento de la población diferentes, que se suele llamar convergencia condicionada. El modelo neoclásico es consistente con este segundo tipo de convergencia.
En último lugar, el modelo de Solow ha sido criticado en relación con la predicción de las diferencias de las tasas de retorno. El modelo muestra que los países pobres tendrán tasas de retorno más altas que los ricos puesto que al encontrarse en una situación en la que el stock de capital es inferior, la productividad marginal del capital debe ser más alta. Por tanto, los tipos de interés reales deberían ser más altos en los países pobres y, en consecuencia, el capital debería ir desde los países ricos hacia los pobres. Sin embargo, estos flujos de capital no se producen de forma esperada. En este sentido, podría acusarse de la falta de desplazamiento del capital de los países ricos a los pobres a la presencia de altos niveles de riesgo. Sin embargo, los diferenciales que se observan en la realidad son mucho más pequeños que los que deberían aparecer según el modelo teórico.
16. ¿Qué es la Nueva Economía del Crecimiento (NEC)? ¿Qué líneas de investigación ha desarrollado?
Tal y como señalan Rafael Barbera y Luis Doncel, los modelos prevalecientes de la época habían sido sometidos a diferentes críticas que dejaban un sabor agridulce a los economistas al no poder explicar el diferente comportamiento de las economías en el largo plazo. Así pues, en 1986 aparecería el trabajo de Paul Romer, quien fue el pionero de lo que se ha venido a denominar crecimiento endógeno o nueva economía del crecimiento. Posteriormente, aparecieron tres artículos, Lucas(1988), Jones y Manuelli(1990) y Rebelo (1991), que han marcado dos de las principales líneas de investigación reciente, el capital humano y el llamado modelo AK.
17. ¿Hay algo nuevo en el “Crecimiento Endógeno” o son viejas teorías reformuladas con lenguaje moderno y formal?
La idea del crecimiento endógeno no es nueva y ya había sido apuntada por autores como Arrow; de tal forma que esta idea no puede ser considerada como reciente. En cualquier caso, la nueva economía del crecimiento está facilitando la aparición de nuevos campos de investigación y permitiendo que el crecimiento económico se pueda explicar, al menos en parte, sin necesidad de acudir al progreso tecnológico exógeno.
18. ¿Qué es lo particular del Modelo (AK)?
Rescatando el análisis realizado por Barbera y Doncel; podemos mencionar que el modelo AK no es cronológicamente el primer modelo de crecimiento endógeno, aunque es conveniente considerarlo el primero porque es el más sencillo y permite analizar de forma simple algunas características generales que presentan los modelos que se engloban en la nueva economía del crecimiento. Algunos autores, a la hora de referirse a esta primera generación de modelos de crecimiento endógeno, Romer y Lucas así como las versiones posteriores de éstos, emplean la expresión de modelos AK.
El modelo que se empleara es el de una economía centralizada en la que la población es constante. De este modo, el planificador busca la mayor felicidad de la economía doméstica representativa formada por un único individuo y, por tanto, deberá resolver el problema, que expresado en términos per capita puede expresarse como:
max Σ βtu(ct)
sujeto a
kt+1 = yt + (1-δ)kt-ct
donde 0 < β < 1. Así, llegamos a la siguiente función de producción:
de ahí el nombre del modelo.
Esta función de producción presenta rendimientos constantes a escala puesto que si, por ejemplo, se dobla es stock de capital, la producción obtenida también se dobla. La representación grafica de esta función seria de la siguiente manera:
De esta forma, se presenta un crecimiento continuo a medida que aumenta el stock de capital, es decir, que aquí, la inversión es el elemento esencial del crecimiento. La existencia de rendimientos constantes a escala se ha justificado al considerar el stock de capital en un sentido amplio, es decir, que incorpora tanto al capital físico como al capital humano.
Otra característica importante de esta función de producción es que la productiva marginal y media del stock de capital coinciden y son iguales a A, de modo que, si ésta no cambia con el tiempo, serán constantes. Por tanto, las productividades son independientes del nivel de stock de capital de la economía y nunca se reducen, es decir, que la productividad marginal del capital no presenta una de las principales características de lo que se ha denominado función de producción neoclásica y que se empleo en el modelo de Solow-Swan, la productividad marginal decreciente.
Del modelo planteado se puede derivar fácilmente la tasa de crecimiento del stock de capital, tasa que puede expresarse de la siguiente manera:
kt+1/kt = (1-δ) + Ait/yt
donde it es la inversión per cápita. La ecuación anterior muestra que hay una clara relación entre la tasa de crecimiento y la inversión, más concretamente con la ratio inversion-produccion por términos per cápita. Esto significa que cuanto más elevada sea la inversión en relación con la producción, mayor será la tasa de crecimiento de la economía. Por tanto, el modelo AK refleja la importante conexión existente entre la inversión y el crecimiento.
El planificador central encuentra el mayor nivel de bienestar para la economía domestica representativa cuando se cumple la condición siguiente:
u’(ct) / βu’(ct+1) = 1 + A - δ
que no es otra cosa que la ecuación de Euler.
Para poder analizar más detenidamente el comportamiento del modelo se supondrá que la función de utilidad del agente representativo es una función CES, es decir,
u(ct) = ct1-θ -1/ 1 - θ
En este caso la ecuación de Euler es:
ct+1/ct = [β(A+1-δ)]1/θ
Nótese que la tasa de crecimiento depende únicamente de los parámetros del modelo (β, A, δ, θ) y, en consecuencia, es constante. De este modo, si se verifica que uno más la productividad marginal (1+A) es mayor que la tasa de depreciación de la economía (δ), el crecimiento será siempre positivo. Por el contrario, si es menor el crecimiento será siempre negativo y, por último, si son iguales el crecimiento será nulo.
El consumo de la economía es igual a la parte de la producción no ahorrada, de modelo que para el periodo t+1 el consumo será ct+1 = (1-s)yt+1. Dividiendo ambos lados por el consumo en t se obtiene:
ct+1/ct = yt+1/yt
Por otro lado, a partir de la función de producción se obtiene que
yt+1/yt = kt+1/kt
En consecuencia, con las dos expresiones anteriores se comprueba que las tasas de crecimiento del consumo, del capital y de la producción son iguales. Teniendo en cuenta que en equilibrio el ahorro es igual a la inversión (it = syt) la expresión que muestra la tasa de crecimiento del capital per cápita se convierte en
kt+1/kt = sA + 1 – δ → kt+1 - kt/kt = sA - δ
Por tanto, dado que la tasa de crecimiento del capital y del consumo per cápita son iguales, se puede obtener el valor de la tasa de ahorro de esta economía. En concreto su valor es
s = β1/θ (A + 1 – δ)1/θ – (1-δ) / A
que al igual que la tasa de crecimiento de la economía, como era de esperar, depende únicamente de los distintos parámetros del modelo.
La expresión correspondiente a la tasa de crecimiento del capital per cápita muestra una serie de cuestiones importantes, algunas de las cuales ya se pudieron observar en la expresión que representa la tasa de crecimiento del consumo per cápita. En primer lugar, se comprueba que la tasa de crecimiento no depende del stock de capital de la economía, es decir, que vendrá determinada, únicamente, por los parámetros del modelo, lo que indica que la tasa de crecimiento es independiente de la riqueza del país, no importa si es rico o pobre. En segundo lugar, y derivado del anterior, en el modelo no existe estado estacionario, salvo en el improbable caso de igualdad entre la tasa de depreciación y sA. Por tanto, es posible encontrar tasas de crecimiento siempre positivas sin necesidad de recurrir al crecimiento exógeno del progreso tecnológico. Por este motivo se dice que es un modelo de crecimiento endógeno.
Con este modelo se puede justificar la diferencia entre las tasas de crecimiento de los distintos países, de formas que aquellos que presenten tasas de ahorro elevadas conseguirán tasas de crecimiento positivas, mientras que aquellos con tasas de ahorro muy bajas se enfrentaran a tasas de crecimiento negativas. De esta forma, en general, los países ricos se situarán dentro del primer grupo y los países pobres dentro del segundo.
Un tercer aspecto destacable consiste en que el modelo AK produce variaciones permanentes en la tasa de crecimiento ante cambios en la tasa de ahorro. Esta es una diferencia importante con el modelo neoclásico, donde el aumento de la tasa de ahorro únicamente causaba aumentos en la tasa de crecimientos transitorios, es decir, durante el periodo de transición entre estados estacionarios. Ahora, un aumento de la tasa de ahorro causa un incremento en la tasa de crecimiento de la economía.; conociéndosele a este fenómeno como efecto crecimiento.
19. ¿Mencionar 4 de las diferencias entre los modelos de Solow y (AK)?
En realidad, existen seis diferencias entre los modelos de Solow y el modelo AK. A continuación describiremos solo cuatro de ellas:
a) En el modelo AK, el PIB per cápita crece a una tasa positiva, sin necesidad de incluir el crecimiento tecnológico exógeno.
b) Implicaciones del modelo AK respecto al crecimiento económico: El modelo AK nos dice algunas cosas interesantes respecto a cuales son los determinantes del crecimiento económico. Según este modelo las economías con mayor tasa de ahorro van a crecer más a largo plazo. Así pues, según este modelo, las políticas económicas encaminadas a fomentar el ahorro tendrán efectos positivos sobre el crecimiento a largo plazo de una economía.
Igualmente, el modelo nos dice que economías con un nivel de desarrollo tecnológico mayor (A) tenderán a crecer más a largo plazo que las economías con menor desarrollo tecnológico. El tamaño de la población afecta negativamente a la tasa de crecimiento, luego, según este modelo las política económicas encaminadas a controlar la natalidad tendrán efectos positivos sobre el crecimiento.
c) En el modelo AK, la economía carece de transición hacia el estado estacionario. Las economías crecen siempre a una misma tasa, y eso con independencia del stock de capital que tengan.
d) Se observa también que en este modelo la tasa de crecimiento del PIB per cápita no depende del stock de capital que tiene la economía. Ni depende tampoco del nivel de renta. Esto implica que el modelo AK no predice convergencia entre países. Este modelo no nos dice, como lo hacía el modelo de Solow-Swan, que los países más ricos, (con más capital), crecen menos que los países pobres (con menor capital).
20. ¿En qué consisten las externalidades? ¿Cuáles son los tres casos que se presentan para Lucas y Romer?
Paul Romer, introdujo una función de producción con externalidades del capital. La intuición de su análisis se basa en la idea de que cuando una empresa aumenta su stock de capital a través de la inversión, no solo aumenta su propia producción, sino que aumenta también la producción de las empresas que le rodean. Dicho de otra manera; las empresas que invierten adquieren experiencia o conocimientos, los cuales pueden ser utilizados por las demás empresas y de ahí que el producto de estas también aumenta.
Una función de producción que refleja las externalidades que acabamos de describir es la siguiente:
donde:
: representa la producción agregada en t
: capital agregado en t
: trabajo agregado en t
: representa la externalidad
: es un parámetro que mide la importancia de la externalidad
Altamirano explica que para Romer, el factor k representa el capital agregado de la economia, K, dado que la inversión de cualquier empresa de la economía ayuda a aumentar el acervo de experiencia de las demás. Lucas, por otra parte, ve en este factor al capital por persona. Así pues, la función de producción agregada puede reescribirse como:
Y = AKαL1-αkη = AKαL1-α(K L)η = AKα+ηL1-α-η
Para poder incorporar esta función al modelo de crecimiento de Solow, debemos primero escribirla en términos per cápita, de tal forma que:
y ≡ Y/L = Akακη
Considerando que k=κ, tenemos esta nueva función de producción:
y = Akα+η
Sustituyendo en la ecuación fundamental de Solow:
(VAR)k = sAkα+η – (δ+n)k
La tasa de crecimiento del capital per cápita se puede hallar dividiendo los dos lados entre k:
(VAR)k/k ≡ γk = sAkα+η-1 – (δ+n)k
El comportamiento de la economía dependerá crucialmente de si la suma de parámetros α + η es inferior, superior o igual a uno.
Caso 1: α + η < 1
Consideramos el caso en que hay externalidades, por eso que η > 0, pero éstas no son muy importantes, de tal forma que α + η < 1. Cuando sucede esto, el exponente del capital en la función del ahorro es negativo:
γk = sA/k1-α-η – (δ+n)
En este caso, la curva de ahorro toma valor infinito cuando k se aproxima a cero; es siempre decreciente y se aproxima a cero cuando k tiende a infinito. Como la curva de depreciación sigue siendo una curva horizontal, tenemos que las dos se cruzan una vez y solo una. Existe pues, un acervo de capital de estado estacionario y es único. En un modelo donde tenemos externalidades del capital, pero éstas son pequeñas, tendremos los mismos resultados que obteníamos con la función de producción neoclásica.
Caso 2: α + η = 1
En el caso en el que α + η = 1, la economía crecerá a una tasa constante, al igual que con la función de producción AK.
Caso 3. α + η > 1
Cuando las externalidades son tan grandes que la suma de los parámetros lleva a que α + η > 1, obtenemos que el exponente del capital de la ecuación de crecimiento es positivo. La curva de ahorro en este caso pasa por el origen, es creciente y va hacia infinito cuando k va hacia infinito. Como la curva de depreciación sigue siendo una curva horizontal, tenemos que las dos se cruzan una vez y solo una. Existe pues, un acervo de capital de estado estacionario y es único; el problema es que este estado estacionario es inestable, en el sentido de que si el acervo de capital es superior a k*, entonces el crecimiento es positivo, por lo que al cabo de un instante el acervo de capital es todavía mayor. Si por el contrario, el acervo de capital es inferior a k*, entonces la tasa de crecimiento es negativa, el capital disminuye y la economía se aproxima a la extinción.
El interés del modelo de Romer es que la existencia de externalidades es una manera de argumentar que la tecnología de nuestra economía podría tener una forma AK. El problema principal observado es que para que la tecnología se convierta en AK, hace falta que existan externalidades que sean lo suficientemente fuertes y además que sean tales que la suma de los componentes que miden el peso del capital en la economía más la importancia de la externalidad sean igual a la unidad. Esto significa que el tamaño de la externalidad debe ser tan grande como la suma de las rentas de todos los trabajadores de la economía, supuesto que parece poco razonable.
Bibliografía consultada:
- Ray, Debraj, Economía del Desarrollo, Antoni Bosch Ed. España.
- Arasa, Carmen. Andreu, José M. Desarrollo Económico. Teoría y Política, Ed. Dykinson, 1999. Madrid, España.
- Barberá, Rafael A. Doncel, Luis M. La moderna economía del crecimiento, Ed. Síntesis. Colección Historia del Pensamiento Económico No 12 España.
- Altamirano, Aniel et al. Crecimiento Económico. Teoría y evidencia empírica del enfoque neoclásico. Universidad de Puebla 2005.
- Solow, Robert M., Teoría del Crecimiento, Ed. Fondo de Cultura Económica, México, 1992.
- Pasinetti, Luigi. Crecimiento Económico y Distribución de la Renta: Ensayos de Teoría Económica, Editorial Alianza, Madrid 1978.
- Mankiw, Gregory N. Macroeconomia, (traducción de Maria Esther Rabasco y Luis Toharia), 3ª. edición, Barcelona, Anotni Bosch Editor, 1997.
Anexo a la respuesta 12 del cuestionario
11. Hemos visto como el hecho de completar el esquema para el ejercicio de Solow que Mankiw propone puede resultar algo tedioso si no se cuenta con la ayuda de un programa especializado como lo puede ser Excel. Por lo tanto, es apropiado señalar que existe otra alternativa para resolver dicho ejercicio.
Para ello, partimos de la ley de acumulación de capital de Solow, que como ya hemos mencionado en varias ocasiones, se encuentra dada por la siguiente forma:
(VAR)k=sf(k)-δk
También tenemos que tomar en cuenta el hecho de que el valor de la acumulación de capital en el estado estacionario tiende a cero, tal y como mencionábamos en la respuesta a la pregunta numero 10 de este cuestionario. Por lo tanto:
0=sf(k*)-δk*
o bien:
Con esta última expresión, nosotros podemos determinar el nivel de capital por trabajador correspondiente al estado estacionario, k*. Considerando el ejemplo de Mankiw para el ejercicio de Solow; k = 4, y = k^(1/2), s = 0.36, -dk = 0.12, tenemos que el nivel de capital por trabajador correspondiente al estado estacionario asciende a k*=13.
