d1 = {ln(S/X) + (r + σ2/2)t} / (σ⋅√t)
d2 = d1 - σ⋅√t
Nella sua forma tradizionale, l'equazione di BS risolve il problema della prezzatura di un'opzione europea su uno strumento che non corrisponde dividendi. E' importante osservare che il prezzo dell'opzione, come ricavato da BS, non dipende nè dal prezzo futuro atteso dello strumento sottostante, nè da valutazioni individuali di preferenza del rischio. Infine, tutti i parametri richiesti dal modello sono direttamente osservabili tranne la volatilità che puó tuttavia venire stimata con metodi statistici. Il modello è tuttavia soggetto alle seguenti restrizioni:
(a) i mercati sono perfetti e non vi sono costi di transazione;
(b) i prezzi sono "continui" (cioè non vi sono "salti" o "gaps" di qualsiasi tipo) e governati da un processo stocastico tipo "random walk";
(c) la volatilità dello strumento finanziario sottostante è costante;
(d) il tasso di interesse risk-free è costante e la curva dei rendimenti è piatta.
Ad esempio, assumiamo di voler valutare il prezzo della seguente opzione call a tre mesi scritta su un'azione che non paga dividendi.
Strike: 100
Tasso di interesse a 3 mesi: 5%
Prezzo spot dell'azione: 100
Volatilità: 15%
Il prezzo dell'opzione call, calcolabile anche con un semplice calcolatore tascabile, è pari a 3.635 con qualche variabilità dovuta al tipo di capitalizzazione e di base di calcolo usati per i tassi di interesse e per la volatilità (per quest'ultima si utilizza spesso un anno di 252 giorni, i soli giorni lavorativi bancari).
Il modello di BS è probabilmente il singolo piú importante risultato della teoria finanziaria degli ultimi trenta anni per cui è difficile sopravvalutarne l'importanza. La maggior parte dei modelli di prezzatura delle opzioni utilizzati oggi sui mercati finanziari sono figli o figliastri del modello di BS. La grande rilevanza del modello di BS è dovuta alla sua elevata trattabilità matematica che fornisce una cornice generale dentro la quale è possibile prezzare un gran numero di prodotti derivati anche rilassando alcune delle restrizioni sopra elencate. Inoltre, il modello di BS fornisce anche una metodologia di copertura (hedging) di relativamente semplice applicazione, il cosiddetto "delta hedging". Tutti queste proprietà, accoppiate con l'esplosione della capacità di calcolo dei computers, hanno di fatto permesso la creazione, quasi dal nulla, di quell'enorme mercato internazionale delle opzioni su tutti gli strumenti finanziari oggi esistente.
modello binomiale, originariamente proposto da Cox, Ross e Rubinstein, consiste in una procedura numerica che viene utilizzata per prezzare diversi tipi di opzione.
In sostanza, il modello binomiale prevede la costruzione di un "albero" che descrive l'andamento futuro dei prezzi. L'albero puó essere rappresentato graficamente nel modo seguente.
Assumendo che S sia il prezzo iniziale (spot), esso salirà al valore (nodo) S1 con probabilità p o scenderà al valore (nodo) S2 con probabilità (1-p). Successivamente, il prezzo si potrà muovere verso una delle tre posizioni S11, S12 o S22 e cosí via indefinitamente. Dato che i movimenti previsti da ogni nodo sono solamente due, questo albero è detto binomiale. Ovviamente, tanto piú si incrementa il numero di rami dell'albero binomiale (immaginando di allungare verso destra la figura sopra riportata), quanto piú è possibile approssimare un numero maggiore di possibili andamenti futuri del prezzo S.
La probabilità p di salita del prezzo (e cosí la complementare probabilità di discesa 1-p), vengono calcolate con riferimento alla volatilità del titolo sottostante. Analogamente a quanto accade nel modello di Black e Scholes, la volatilità diviene dunque input del modello. La relazione che lega la probabilità p alla volatilità σ è approssimata dalla formula seguente:
p = {exp(r×√Δt)-exp(-σ×√Δt)}/{ exp(σ×√Δt)- exp(-σ×√Δt)}
dove r è il tasso di interesse (risk-free) e Δt è l'intervallo di tempo corrispondente ad un movimento da un nodo all'altro nell'albero binomiale. Anche la relazione che lega il valore attuale del prezzo S con i suoi possibili valori futuri S1 ed S2 dipende dalla volatilità:
S1 = S × exp(σ×√Δt) e S2 = S × exp(-σ×√Δt)
e cosí via per i nodi successivi.
Una volta che si è creato un completo albero binomiale (tramite un computer), si segue questa procedura:
si considerano i nodi finali dell'albero (gli ultimi a destra);
si assegna a ciascun nodo il valore che l'opzione europea (call o put) assumerebbe in corrispondenza di quel prezzo finale;
si retrocede nell'albero binomiale (muovendosi verso sinistra) e si calcola il valore dell'opzione ad ogni nodo (questo è facilmente realizzabile dato che basta ponderare per la rispettiva probabilità p o 1-p i valori, già conosciuti, che l'opzione puó assumere nel passo successivo e quindi scontarli per il tasso di interesse r);
si procede in questo modo finchè si arriva al nodo iniziale (quello da cui origina tutto l'albero): il prezzo dell'opzione ricavato per questo nodo corrisponde al valore odierno dell'opzione.
Si puó provare matematicamente che, nel caso delle opzioni europee, la soluzione ricavata dal modello binomiale converge verso quella ricavabile usando il modello di Black e Scholes. Il modello binomiale, possiede tuttavia una maggiore flessibilità di quello di Black e Scholes perchè puó essere utilizzato anche per calcolare il prezzo di opzioni diverse da quelle europee, ad esempio delle opzioni americane anche in caso in cui l'azione sottostante all'opzione corrisponda un dividendo. In pratica, dato che il modello binomiale replica passo per passo i possibili andamenti futuri del prezzo, è possibile anche inserirvi ulteriori informazioni relativamente a flussi di cassa che si concretizzano durante la vita dell'opzione (es. i dividendi), mantenendo sostanzialmente inalterata la procedura per calcolare il prezzo dell'opzione.
L'uso del modello binomiale è diventato molto popolare con l'avvento dei personal computers che permettono il calcolo rapido di alberi anche molto complessi. Da qualche anno, sono diventati anche relativamente popolari gli alberi "trinomiali", cioè gli alberi in cui da ciascun nodo partono non due ma tre possibili traiettorie future del prezzo. Gli alberi trinomiali hanno trovato applicazione nel calcolo delle opzioni sui tassi di interesse e sulle obbligazioni. Anche se la procedura numerica diviene necessariamente piú complessa, essa non cambia nella sostanza da quella utilizzata nei modelli binomiali.