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Introduction

Note Finanziarie a cura di Francesco Ceci IL MODELLO DI BLACK & SCHOLES Il primo modello completo di prezzatura di un'opzione europea su uno strumento finanziario, il pi� noto ed il pi� utilizzato. Esso risale al 1973 e si basa sulla constatazione che il valore di un'opzione pu� essere replicato da un portafoglio composto da una certa quota dello strumento finanziario sottostante aggiustato dinamicamente. L'analisi di Black e Scholes (BS) procede approssimativamente in questo modo: (i) il prezzo dello strumento finanziario sottostante � determinato da un processo stocastico (cio� casuale) lognormale che dipende solo dal suo prezzo medio atteso e dalla sua volatilit� ; (ii) il prezzo dell'opzione � una funzione del prezzo dello strumento finanziario e della vita dell'opzione stessa; (iii) si pu� costruire un portafoglio composto dallo strumento finanziario e dall'opzione fatto in modo tale che il termine stocastico derivante dall'assunzione (i) scompaia; (iv) dato che il portafoglio costruito sub (iii) non ha alcuna componente casuale, esso deve dare un rendimento certo e, per la condizione di non arbitraggio, tale rendimento deve essere pari al tasso di interesse "a rischio zero" (riskless rate). Aggiungendo infine al problema le "condizioni al contorno" tipiche di un'opzione europea (ad esempio, la condizione che il valore di un'opzione call a scadenza � pari alla differenza, se positiva, tra il prezzo finale dello strumento e lo strike), BS ricavano questa formula: C = S � N(d1) ...read more.

Middle

Il modello di BS � probabilmente il singolo pi� importante risultato della teoria finanziaria degli ultimi trenta anni per cui � difficile sopravvalutarne l'importanza. La maggior parte dei modelli di prezzatura delle opzioni utilizzati oggi sui mercati finanziari sono figli o figliastri del modello di BS. La grande rilevanza del modello di BS � dovuta alla sua elevata trattabilit� matematica che fornisce una cornice generale dentro la quale � possibile prezzare un gran numero di prodotti derivati anche rilassando alcune delle restrizioni sopra elencate. Inoltre, il modello di BS fornisce anche una metodologia di copertura (hedging) di relativamente semplice applicazione, il cosiddetto "delta hedging". Tutti queste propriet�, accoppiate con l'esplosione della capacit� di calcolo dei computers, hanno di fatto permesso la creazione, quasi dal nulla, di quell'enorme mercato internazionale delle opzioni su tutti gli strumenti finanziari oggi esistente. Torna alla home page di Note Finanziarie modello binomiale, originariamente proposto da c*x, Ross e Rubinstein, consiste in una procedura numerica che viene utilizzata per prezzare diversi tipi di opzione. In sostanza, il modello binomiale prevede la costruzione di un "albero" che descrive l'andamento futuro dei prezzi. L'albero pu� essere rappresentato graficamente nel modo seguente. Assumendo che S sia il prezzo iniziale (spot), esso salir� al valore (nodo) ...read more.

Conclusion

Si pu� provare matematicamente che, nel caso delle opzioni europee, la soluzione ricavata dal modello binomiale converge verso quella ricavabile usando il modello di Black e Scholes. Il modello binomiale, possiede tuttavia una maggiore flessibilit� di quello di Black e Scholes perch� pu� essere utilizzato anche per calcolare il prezzo di opzioni diverse da quelle europee, ad esempio delle opzioni americane anche in caso in cui l'azione sottostante all'opzione corrisponda un dividendo. In pratica, dato che il modello binomiale replica passo per passo i possibili andamenti futuri del prezzo, � possibile anche inserirvi ulteriori informazioni relativamente a flussi di cassa che si concretizzano durante la vita dell'opzione (es. i dividendi), mantenendo sostanzialmente inalterata la procedura per calcolare il prezzo dell'opzione. L'uso del modello binomiale � diventato molto popolare con l'avvento dei personal computers che permettono il calcolo rapido di alberi anche molto complessi. Da qualche anno, sono diventati anche relativamente popolari gli alberi "trinomiali", cio� gli alberi in cui da ciascun nodo partono non due ma tre possibili traiettorie future del prezzo. Gli alberi trinomiali hanno trovato applicazione nel calcolo delle opzioni sui tassi di interesse e sulle obbligazioni. Anche se la procedura numerica diviene necessariamente pi� complessa, essa non cambia nella sostanza da quella utilizzata nei modelli binomiali. ...read more.

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