Matemticas: Nivel Medio Portafolio: Fracciones de Lacsap

Buscando una relación entre “n” y el numerador.

• Cuando n = 1 y el numerador es 1

n (y) = 1

Reemplazando:

1 (y) = 1

y= 1  Primer valor de  y

Entonces:

1 (1) = 1

• Cuando n = 2 y el numerador es 3

n (y) = 3

Reemplazando:

2 (y) = 3

y=3/2  Segundo valor de y

Entonces:

2 (3/2) =3  

• Cuando n =3 y el numerador es 6

n (y) =6

Reemplazando:

3 (y) = 6

y= 6/3  Tercer valor de y

Entonces:

3 (6/3) =6

• Cuando n =4 y el numerador es 10

n (y) = 10

Reemplazando:

4 (y) =10

y= 10 /4  Cuarto valor de y

Entonces:

4 (10/4) =10

• Cuando n =5 y el numerador es 15

n (y) = 15

Reemplazando:

5 (y) = 15

y= 15 /5  Quinto valor de y

Entonces:

5 (15/5) = 15

Valores hallados de y:

1; 3/2; 6/3; 10/4; 15/5

Hallamos fracciones equivalentes con un denominador común para todas las fracciones valores de y:

• 1= 2/2
• 3/2= 3/2
• 6/3= 4/2
• 10/4= 5/2
• 15/5= 6/2

Reemplazamos:

• Cuando n=1

1 (2/2) = 1

• Cuando n=2

2 (3/2) = 3

• Cuando n=3

3 (4/2) = 6

• Cuando n=4

4 (5/2)= 10

• Cuando n=5

5 (6/2) = 15

Podemos notar que el numerador de un factor es siempre un número consecutivo.

n (n+1)

Entonces la proposición general que representa lo observado para hallar cualquier numerador de “n” fila es la siguiente:

n (n+1) /2

Aplicando la fila para hallar el numerador de la sexta y séptima fila:

Sexta fila                     n=6                 6 (6+1) /2 = 21  lo cual concuerda con nuestra hipótesis

Séptima fila:                     n=7               7 (7+1) /2 = 28

Hallamos el Denominador:

Observamos que la diferencia entre el denominador y el numerador en “r” (columnas diagonales) es de números consecutivos cuando r=1; de dos en dos cuando r=2; y de tres en tres cuando r=3; y suponemos que será de cuatro en cuatro cuando r=4.

Denominador cuando “r” = 1:

Cuando n=1, observamos que la diferencia entre el numerador y el denominador es 0

Cuando n=2, la diferencia es 1

Cuando n=3, la diferencia es 2

Cuando n=4, la diferencia es 3

Cuando n=5, la diferencia es 4

Cuando n=6, la diferencia debería ser 5

Cuando n=7, la diferencia debería ser 6

Podemos decir que la diferencia es igual a n – r (cuando r = 1).

1 – 1 = 0  = n – 1

2 – 1 = 1  = n – 1

6 – 4 = 2  = n – 1          

Entonces: numerador – denominador = n – r

                 Denominador = numerador – (n – r)  

10 – 7 = 3  

15 – 11 = 4

Denominador cuando “r” = 2:

Denominador = D; Numerador = N

Cuando

n= 2; N – D   = 0

n= 3; N – D  = 2

n= 4; N – D  = 4

n= 5; N – D = 6

n= 6; N - D (debería ser)= 8

n= 7; N – D  (debería ser)= 10

Vemos que N – D   es n – r cuando r = 1

Entonces se tendría que dar cuando r = 2, N – D  = n – r

Lo cual no se da.

Hallamos una constante (“x”)

• N – D  = x (n-2) = 0 cuando n = 2

Despejando:

x (2-2) = 0

• N – D = x (n-2) = 2 cuando n = 3

x (3-2) = 2

Despejando:

x= 2

• N – D  = x (n-2) = 4 cuando n = 4

x (4-2) = 4

x = 2

• N – D  = x (n-2) = 6 cuando n = 5

x (5-2) = 6

x = 2

Notamos que “x” es una constante y es 2, el valor de “r”.

Podemos llegar a la fórmula:

N – D  = r (n – r)

Despejando:

D = N – r (n – r)

Hallando los denominadores de la sexta fila:

• Cuando r=1:

D = 21 – 1 (6-1)

D=16

• Cuando r=2:

D = 21 – 2 (6-2)

D= 13

• Cuando r=3:

D = 21 – 3 (6-3)

D= 12

• Cuando r=4:

D= 21 – 4 (6-4)

D=13

• Cuando r=5:

D= 21 – 5 (6-5)

D=16

Fila seis:

Hallamos los denominadores de la séptima fila:

• Cuando r=1:

D= 28 – 1 (7-1)

D=22        

• Cuando r=2:

D= 28 – 2 (7-2)

D=18

• Cuando r=3:

D= 28 – 3 (7-3)

D=16

• Cuando r=4:

D= 28 – 4 (7-4)

D= 16

• Cuando r=5:

D= 28 – 5 (7-5)

D= 18

• Cuando r=6:

D= 28 – 6 (7-6)

D=22

Fila siete:

Conclusión:

Sea el elemento enésimo = En(r)            

Proposición general:

Hallando la fila 8 (n=8) con la proposición general:

N= 8 (9)/2 = 36

• Cuando r=1:

D= 36 – 1(8-1) = 29        

• Cuando r=2:

D= 36 – 2(8-2) = 24

• Cuando r=3:

D= 36 – 3(8-3) = 21

• Cuando r=4:

D=36 – 4(8-4) = 20

• Cuando r=5:

D= 36 – 5(8-5) = 21

• Cuando r=6:

D= 36 – 6(8-6) = 24

• Cuando r=7:

D= 36 – 7(8-7) = 29

Fila ocho:

1; 36/29; 36/24; 36/21; 36/20; 36/21; 36/24; 36/29; 1

Alcances y Limitaciones:

Existen limitaciones para esta ecuación, primero se debe cortar los unos de ambos lados del triángulo cuando se calcula el numerador, entonces la segunda columna es contada como la primera. Segundo, en la proposición general, “n” debe ser mayor que cero. Tercero, la primerísima línea del triángulo (1 1) es considerada como la primera línea.

 Hallando la proposición general:

La proposición general se obtuvo siguiendo los pasos vistos con anterioridad, primero se halló la ecuación para el numerador, primero hallando el patrón, formulando la hipótesis para las siguientes filas, buscando una relación entre “n” y el numerador, reemplazando la incógnita en la ecuación formulada y hallando finalmente la ecuación. De igual manera con el denominador, solo que en este caso vino a tomarse en cuenta la columna (ya que el numerador es igual en cada fila horizontal), y se halló la ecuación correspondiente al denominador, luego se reemplazó la incógnita del denominador por una ecuación equivalente usando la incógnita “r” de fila para simplificar, y para finalizar se los puso en una fracción a ambos (en sus respectivos espacios de numerador y denominador) y se logro la proposición general.